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Suites Numériques
I)GénéralitésA- Définitions Une suite numérique u est une fonction de - explicitement, c'est-à-dire que l'on exprime un en fonction de n, pour tout entier n. Exemple : un=3n+5. On peut alors calculer un terme quelconque sans connaître les termes précédents. Exemple : pour n=6, un=3*6 + 5 - par récurrence, c'est-à-dire que que l'on donne le premier terme de la suite et une relation par récurrence entre un terme et le terme suivant. Exemple : u0=4 et un+1=2un+4.On calcule alors pas à pas les termes u1, u2, u3, u4, ...jusqu'au terme un souhaité.
B- Représentations graphiquesPrenons la suite un=2n+1. On a alors u0=1, u1=3, u2=5, u3=7, u4=9, u5=11, u6=13, ... On peut représenter cette suite soit sur une droite, soit dans un plan. • Sur une droite, on place les réels un= pour les premières valeurs de n : • Dans un repère du plan : on place les points An de coordonnées (n;un) pour les premières valeurs de n. C- Etude d'une suite numérique Une suite un, définie explicitement ou par récurrence,est dite croissante si et seulement si, pour tout n de S'il existe un réel m tel que, pour tout n de II)Suites arythmétiques et géométriques A- Les suites arithmétiques Définition: une suite un est dite arithmétique de raison r si pour tout n de
B- Les suites géométriques Définition: une suite un est dite géométrique de raison q si pour tout n de
III)Limites d'une suite A- Limite finie et infinie
Comportement à l'infinie d'une suite géométrique : la limite dépend de la raison q :
Remarque : Théorème de convergence : Si un est croissante ET majorée, ou décroissante ET minorée, la suite est alors convergente. Attention : cela ne donne pas la limite. Remarque : une suite divergente n'admet nécessairement de limite finie/infinie. C'est le cas de la suite un=(-1)n, qui prend alternativement les valeurs -1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite : elle est donc divergente. B - Limites usuelles et opérations Sommes Produits
Inverses Quotients
C - Comparaison de limites Théorème de comparaison : 1 - Soit un et vn, deux suites définies sur 2 - Soit un et vn, deux suites définies sur Théorème d'encadrement : Soit un, vn et wn, trois suites définies sur Voici tous ce qu'il faut savoir sur les suites numériques (en 1re et Tle S). Les démonstrations n'ont pas été mises du fait que chaque exemple est unique (il peut être aussi bien facile ou compliqué à comprendre), et que mes notes ne me permettent pas de vous donner de bien démonstration. Ainsi vous ''faut-il'' répondre aux questions suivantes pour voir si vous avez bien compris ce cours. Attention : le signe multiplier est représenté par un 'x' ! |
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