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Similitude : écriture complexe - cours

    Définition : toute similitude directe du plan est soit une translation, soit la composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre.

        Voici un exemple :

        Comment reconnaître qu'une application f est une similitude directe ?

      Comment caractériser une similitude directe f ?

      Comment trouver l'affixe z du centre I de la similitude ?

      On écrit z'=z (point invariant) soit z=az+b  ce qui conduit à  z= b/(1-a).

   Exemple : Soit l'application f définie par l'écriture complexe z'=(-1+i)z +i

                  Ici a=-1+i   on calcul |a|=√(-1)²+(1)²=√2 et argument de a  θ tel que cosθ=-√2/2 et sinθ=√2/2 donc θ=3∏/4.

                  Il s'agit donc d'une similitude de rapport k=√2 et d'angle 3∏/4.

                 L'affixe de centre I de la similitude est  z=i/(2-i) =-1/5+2/5i.

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Q1 : Soit l'application f définie par z'=z +1+i. Il s'agit d'une translationhomothétiesimilituderotation

Q2 : Soit l'application f définie par z'=3z +2-4i. Il s'agit d'une translationhomothétierotationsimilitude

Q3 : Soit l'application f définie par z'=(1-i))z +i. Il s'agit d'une translationsimilituderotationhomothétie

Q4 : Soit l'application f définie par z'=e^(ipi/3)z +2i. Il s'agit d'une homothétierotationsimilitudetranslation

Q5 : L'application du plan d'écriture complexe z'=-2iz+1-i est une similitude directe :

de rapport -2. C'est VraiFaux

de centre I d'affixe 1-i. C'est FauxVrai

de rapport 2 et transformant O d'affixe 0 en O' d'affixe 1-i. C'est FauxVrai

Q6 : Donner l'écriture complexe de la similitude directe de centre I d'affixe 1+i, de rapport 2 et d'angle pi/2. La réponse correcte est z'=(1+i)z+2z'=2iz-(1+i)z'=2z-(1+i)

Q7 : Soit l'application f définie par z'=(1+i)z +2-3i. Il s'agit d'une similitude directe de rapport 21rac(2)

d'angle pi/2pi/4pi/3

de centre I d'affixe 3+2i5i+22-3i

Q8 : Soit l'application f définie par z'=z/i. Il s'agit ici d'une translationrotationerreur d'écriturehomothétie