Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°85674 : Racines d'un polynôme

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Racines d'un polynôme

L'ensemble des polynômes à coefficients dans $4$\mathbb{R}$ est noté $4$\mathbb{R[X]}$ .

$4$P \ \in \ \mathbb{R[X]}$ est de degré $4$n \ \Longleftrightarrow \ \exists \ a_0, \ a_1, \ a_2, ...a_n \ \in \ \mathbb{R}$ avec $4$a_n \ \neq \ 0 \$ tel que $\ P \ = \ a_0+a_1 X+a_2 X^{2}+...+a_{n-1} X^{n-1}+a_{n} X^{n}$ .

Soit $4$\alpha \ \in \ \mathbb{R}$ , $4$\alpha$ est racine de $4$P \ \Longleftrightarrow \ \exists \ Q \ \in \mathbb{R[X]}$ tel que $4$ P \ = \ (X-\alpha)Q$ .

1- Racine d'un polynôme du 1er degré :

Si $4$P \ = \ aX+b \$ avec $\ a \ \neq \ 0$ , sa racine - qui existe - est égale à $4$-b \over 4$a$ .

2- Racines d'un polynôme du 2e degré :

Si $4$P \ = \ aX^{2}+bX+c \$ avec $\ a \ \neq \ 0$ , 3 cas se présentent :

2-1 $4$\red\Delta=b^{2}-4ac < 0$ , ( $4$\red\Delta=b^{2}-4ac$ est le discriminant du trinôme) et le polynôme n'a pas de racine dans $4$\mathbb{R}$ .

2-2 $4$\red\Delta=b^{2}-4ac > 0$ alors le polynôme a deux racines distinctes dans $4$\mathbb{R}$ qui sont :

$4$x_1=\frac{-b-sqrt{\Delta}}{2a}$ et $4$x_2=\frac{-b+sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Remarque : Si on pose:

$4$\left\lbrace\begin{array}l 4$s=x_1+x_2=\frac{-b-sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a} \\ 4$p=x_1.x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a} \end{array}$ ,

alors on a $4$\blue a[(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}]=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^{2}-sx+p)=ax^{2}+bx+c$

l'équation $4$ax^{2}+bx+c=0$ devient : $4$\blue a(x^{2}-sx+p)=0$

$4$\blue a[(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}]$ est la forme canonique du trinôme $4$ax^{2}+bx+c$ .

2-3 $4$\red\Delta=b^{2}-4ac = 0$ , le polynôme a une racine double dans $4$\mathbb{R}$ qui est : $4$x=\frac{-b}{2a}$ .

L'équation $4$ax^{2}+bx+c=0$ devient : $4$\blue (x+\frac{b}{2a})^{2}=0$ .

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1)La racine du binôme P(X)=-3X+6 est : .
2) Sachant que le trinôme P(X)=3 X²-5X+2 a deux racines distinctes et que l'une d'elles est 1, la seconde est : .
3) Si n est un entier naturel non nul, le polynôme P(X)=Xⁿ-1 admet une racine évidente qui est : .
4) Le produit des racines du trinôme P(X)=2 X²-X-1 est : .
5) La racine double du trinôme P(X)=9X²-162X+729 est : .
6) La racine évidente du polynôme P(X)= X⁵- 5X³ +2X est : .
7) Les racines distinctes du polynôme P(X)= X³-2 X²-5 X+6 sont au nombre de : (chercher d'abord la racine évidente).
8) Dans l'équation de second ordre : x² - 4 x + 3 = 0, le discriminant est égal à , la plus petite racine est et la plus grande est .

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