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Produit de deux binômes - cours de maths (mathématiques)
Binôme - définition :
Un binôme est une expression algébrique contenant deux termes.
Exemple : 3x+ 4 ; 6y – 7 ; 4x – 3y
Produit de deux binômes :
Soient (a + b) et (c + d) deux binômes
Le produit de ces deux binômes s'écrit : (a + b)(c + d)
Pour le résoudre, on développe le produit de cette manière :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemple 1 : (2x +3)(5x + 1)
(2x + 3)(5x + 1)= 2x × 5x + 2x × 1 + 3 × 5x + 3 × 1
(2x + 3)(5x + 1)= 10x2 + 2x + 15x + 3
On fait la réduction des termes semblables
(2x + 3)(5x + 1)= 10x2 + 17x + 3
Exemple 2 : (4x +5)(2y - 7)
(4x + 5)(2y - 7)= 4x × 2y – 4x × 7 + 5 × 2y – 5 × 7
(4x + 5)(2y - 7)= 8xy – 28x + 10y – 35
Cas particuliers
A- Si les deux binômes sont semblables
Premier cas : (a + b)(a + b)
On développe les produits de la même manière
(a + b)(a + b) = a×a + a×b+ b×a+b×b
(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2
En expression algébrique : ab = ba
(a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2
(a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Sachant que : a × a = a2,
on peut écrire (a + b)(a + b) = (a + b)2
D où (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C'est une expression algébrique qu'on peut utiliser pour calculer n'importe quelle opération similaire. Elle fait partie d'une série expression appelée identités remarquables.
Exemple : (5y + 4)(5y + 4)
On pose (5y + 4)(5y + 4) = (5y + 4)2
On applique la relation (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Avec a = 5y et b = 4
(5y + 4)2 = (5y)2 + 2(5y)(4) + (4)2
(5y + 4)2 = 25y2 + 40y + 16
Deuxième cas : (a – b)(a – b)
On développe les produits de la même manière
(a – b)(a – b) = a×a- a×b- b×a+b×b
(a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2
En expression algébrique : ab = ba
(a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2
(a - b)(a - b) = a2 - 2ab + b2
Sachant que : a × a= a2
(a - b)(a - b) = (a - b)2
D où (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
C'est une autre expression algébrique qu'on peut utiliser pour calculer n'importe quelle opération similaire. Elle fait partie des expressions appelées identités remarquables.
Exemple : (3x – 6)(3x – 6)
On pose : (3x – 6)(3x – 6) = (3x – 6)2
On applique la formule : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Avec a = 3x et b = 6
(3x - 6) 2 = (3x)2 – 2(3x)(6) + (6)2
(3x - 6) 2 = 9x2 – 36x + 36
B - Deux binômes dont les premiers termes sont égaux et les seconds sont opposés
(a + b)(a – b)
On développe les produits de la même manière
(a + b)(a - b) = a×a– a×b+ b×a– b×b
(a + b)(a - b) = a2 – ab + ba – b2
En expression algébrique : ab = ba
(a + b)(a - b) = a2 – ab + ab – b2
-ab + ab = 0
D'où (a + b)(a - b) = a2 – b2
C'est une autre expression algébrique qu'on peut utiliser pour calculer n'importe quelle opération similaire. Elle fait partie des expressions appelées identités remarquables.
Exemple : (7x +10)(7x – 10)
On applique la relation : (a + b)(a - b) = a2 – b2
Avec a = 7x et b = 10
(7x +10)(7x – 10) = (7x)2 – (10)2
(7x +10)(7x – 10) = 49x2 – 100
Remarque : les identités remarquables se résument en trois expressions algébriques :
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3) (a + b)(a - b) = a2 – b2
Faites le bon choix !
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