Créer un test
Connectez-vous !

Cliquez ici pour vous connecter
Nouveau compte
4 millions de comptes créés

100% gratuit !
[Avantages]


- Accueil
- Accès rapides
- Aide/Contact
- Livre d'or
- Plan du site
- Recommander
- Signaler un bug
- Faire un lien



Publicités :




Recommandés :
- Traducteurs gratuits
- Jeux gratuits
- Nos autres sites
   

Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°43261 : Polynômes - cours

> Plus de cours & d'exercices de maths (mathématiques) sur les mêmes thèmes : Calculs littéraux | Fonctions [Autres thèmes]
> Tests similaires : - Fonction et ensemble de définition - Développement - Identités remarquables : développement et factorisation - Suites arithmétiques - Factorisation (3ème / 2nde ) - Fonction logarithme népérien - Calcul (5e) - Développement et Factorisation
> Double-cliquez sur n'importe quel terme pour obtenir une explication...


Polynômes - cours


polynômes


1. Une expression du type

est appelée polynôme de degré n, lorsque désignent des nombres réels avec


Exemples : est un polynôme de degré 2; est un polynôme de degré 5



2. Images

Calculer , c'est chercher l'image de (-3) par le polynôme ;
l'image de(-3) est donc 9 + 15 + 6 = 30;
on peut la noter P(-3); ainsi P(-3)=30


Plus généralement , l'image d'un nombre a, par un polynôme P(x) s'obtient en remplaçant x par a; on note cette image P(a).

schéma de Horner

3. Horner a cherché à minimiser le nombre d'opérations à effectuer pour calculer l'image d'un nombre par un polynôme.


Par exemple: Pour calculer P(a) lorsque , on doit effectuer 3 additions et 6 multiplications, soit 9 opérations

En écrivant P(x) sous la forme ((3x + 5)x + 4)x + 8 appelée schéma de Horner, pour calculer P(a), on effectue seulement 6 opérations! soit une économie de 3 opérations!


Calculons P(2) à l'aide du schéma de Horner:

, ,

, ,

et enfin

D'où P(2)=60

Facile, non ? et sans calculatrice!

Disposition pratique des calculs pour le calcul de P(a)

Dans un tableau, on inscrit les coefficients de P(x)dans 'l'ordre'. Attention : si un coefficient vaut 0, il ne faut pas oublier d'inscrire 0 dans le tableau!)

Exemple : Calcul de P(2) lorsque

_on inscrit les coefficients 3 , 5 , 4 et 8 sur la première ligne d'un tableau;

_on inscrit des + à la deuxième ligne (sauf sous le premier coefficient)

_on descend le coefficient 3 à la quatrième ligne;

_on multiplie le coefficient 3 par 2; on met le résultat 6 sous le deuxième coefficient à la troisième ligne;

_on additionne le second coefficient 5 avec 6 et on met le résultat 11 à la dernière ligne;

_et on recommence: on multiplie 11 par 2, puis on met le résultat 22 sous le troisième coefficient 4 à la troisième ligne:

_on additionne le troisième coefficient 4 avec 22 et on met le résultat 26 à la dernière ligne;

_et on recommence : on multiplie 26 par 2, puis on met le résultat 52 sous le quatrième coefficient 8 à la troisième ligne:

_on additionne le quatrième coefficient 8 avec 52 et on met le résultat 60 à la dernière ligne;

_terminé ! on peut dire P(2)=60

c'est un peu long à expliquer ...

mais il suffit de faire le tableau suivant !

3
5
4
8

+
+
+

6
22
52
3
11
26
60



4. Factorisation par (x-a) de P(x)-P(a)

Propriété: on peut écrire P(x)-P(a) sous la forme d'un produit d'un polynôme Q(x) par (x-a)

Et formidable! Les coefficients du polynôme Q(x) sont les nombres donnés dans le tableau à la dernière ligne (en enlevant le dernier):

Exemple: avec

on peut factoriser P(x)-P(2)par (x-2); c'est-à-dire on peut écrire P(x)-P(2)= (x-2)*Q(x)

le polynôme P a pour degré 3 donc le polynôme Q a pour degré 2 et

Un exemple avec un coefficient nul

Soit

Un calcul de 'tête' nous indique que P(-1)=0

Le schéma de Horner va donner une factorisation de P(x)

Les coefficients de P(x) sont    3    -1     0     -1     -5      (il y a 0 car il n'y a pas de terme x²; il y a donc 0x²)

on calcule P(-1)

3
-1
0
-1
-5

+
+
+
+

-3
4
-4
5
3
-4
4
-5
0

On peut conclure

P(-1)=0 et quel que soit x réel,





Avancé Tweeter Partager
Exercice de maths (mathématiques) "Polynômes - cours" créé par anonyme avec le générateur de tests - créez votre propre test !
Voir les statistiques de réussite de ce test de maths (mathématiques)

Merci de vous connecter au club pour sauvegarder votre résultat.


1. L'une des expressions n'est pas un polynôme de degré 2

2. L'image de (-1) par le polynôme est le nombre

3. Pour le polynôme , le schéma de Horner est

4. Pour le polynôme , le schéma de Horner est

5. Le polynôme a pour degré

6. L'image de (-2) par le polynôme est le nombre

7. L'image de (-2) par le polynôme de degré 2 est le nombre

8. On donne le polynôme ; on peut factoriser P(x)-P(-2), on trouve

9. L'image de (-1) par le polynôme de degré 3 est le nombre

10. On donne le polynôme ; on peut factoriser P(x)-P(-1) par x+1, on trouve









Fin de l'exercice de maths (mathématiques) "Polynômes - cours"
Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques). (tags: calcullitteral fonction )
Tous les exercices | Plus de cours et d'exercices de maths (mathématiques) sur les mêmes thèmes : Calculs littéraux | Fonctions












Partager : Facebook / Google+ / Twitter / ... 


> INDISPENSABLES : TESTEZ VOTRE NIVEAU | NOS MEILLEURES FICHES | Fiches les plus populaires | Aide/Contact

> COURS ET TESTS : Arithmétique | Avec cours | Calculs | Calculs littéraux | Conversions | Enfants | Equations | Fonctions | Fractions | Géométrie | Jeux | Nombres | Nombres relatifs | Opérations | Plusieurs thèmes | Problèmes | Statistiques | Tests de niveaux

> INFORMATIONS : - En savoir plus, Aide, Contactez-nous [Conditions d'utilisation] [Conseils de sécurité] Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions) | Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice. | Mentions légales / Vie privée / Cookies .
| Cours et exercices de mathématiques 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès.