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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°117859 : Notation exponentielle d'un complexe

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Notation exponentielle d'un complexe


Un nombre complexe peut se présenter sous différentes formes :

 

 

                                      Forme cartésienne :  z= a+ib  (a et b réels)

                                                                                 par exemple  z= 1+2i

 

                                        Forme trigonométrique: z= ρ(cosβ +isinβ)   ρ est le module du nombre complexe ,réel et toujours positif

                                       et β est l'argument du nombre complexe  exprimé généralement en radians.

                                                                                On passe de la première forme à la seconde en calculant

                                                                                le module ρ avec ρ=√(a²+b²  et l'argument β tel que  cosβ= a/ρ et sinβ=b/ρ.

                                                                            par exemple  avec z=1+2i on obtient ρ=√1²+2²=√5  et β tel que cosβ=1/√5 et sinβ=2/√5.

 

 

                                 Notation exponentielle : pour tout réel x on pose        =cosx +isinx
                                                                                          et donc tout nombre complexe pourra s'écrire  z=ρ

                                                                                      par exemple   ,   etc ...


                                             Ci-dessous rappel de quelques propriétés des exponentielles :

                                                                           

                                                                                            

                                             et un rappel sur le lien avec la géométrie :


                                                                                                                                 

 



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Q1 : mais combien vaut ?

Q2 : Le nombre complexe 1+irac(3) a pour notation exponentielle a) b) . Réponse

Q3 : a pour notation cartésienne

Q4 : est un

Q5 : Le nombre complexe a pour module

et pour argument

Q6 : Soit O l'origine du plan complexe. Pour tout z différent de 0 le triangle OM(z)M'()est

et

Q7 : Soit le point M d'affixe z et M' d'affixe z'= 3. On passe de M à M' par une d'angle pi/4

suivi d'une homothétie de rapport .









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