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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°127827 : Multiples communs

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Multiples communs


 

Multiples communs de deux ou plusieurs entiers naturels

Un entier naturel est un multiple commun de deux entiers a et b si et seulement si cet entier est à la fois un multiple de a et de b.

Exemple : 30 = 10 × 3

                30 = 5 × 6

30 est un multiple commun de 10 et de 6 ou de 10 et de 5 ou encore de 3 et de 5, etc.

 

- Le produit de deux entiers naturels est un multiple commun à ces deux entiers.

Exemple : 15 = 5 × 3

15 et un multiple commun de 5 et de 3.

 

➡️ Ensemble des multiples communs (non nuls) de deux entiers naturels :

Soient M(4) l'ensemble des multiples de 4 et M(6) l'ensemble des multiples de 6.

M(4) =  4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 , 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72  ...

M(6) =  6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 , 48, 54, 60, 66, 72 , 78, 84, 90, 96, 102,  108, ...

Soit A l'ensemble des multiples communs de 4 et de 6

A =   12 , 24, 36, 48, 60, 72  .....

 

➡️ Le plus petit multiple commun (P. P. M. C.) :

On appelle  "plus petit multiple commun de a et  de b", le plus petit nombre non nul de l'ensemble des multiples communs.

Exemple : 12 est le plus petit multiple commun de 4 et 6 suivant l'ensemble A ci-dessus.

 

Remarque : Reprenons l'ensemble A qui est l'ensemble des multiples communs non nuls de 4 et 6.

A = 12, 24, 36, 48, 60, 72 ...

On peut constater que 12 est le p. p. m. c.  et que A est l'ensemble des multiples de 12.

En conclusion : L'ensemble des multiples communs à deux entiers naturels est égal à l'ensemble des multiples de leur p. p. m. c.

 

➡️ Recherche du P. P. M. C. de deux entiers naturels :

Pour trouver le p. p. m. c. de deux entiers naturels non nuls :

1) On décompose ces nombres en leurs facteurs premiers

2) On fait le produit de tous les facteurs, chacun d'eux étant pris une seule fois et avec son plus fort exposant.

Exemple : Chercher le p. p. m. c.  de 24 et de 84.

1) On  décompose ces nombres en leurs facteurs premiers :

24 ÷ 2 = 12

12 ÷ 2 = 6

6 ÷ 2 = 3

3 ÷ 3 = 1

24  = 2³ × 3

 

84 ÷ 2 = 42

42 ÷ 2 = 21

21 ÷ 3 = 7

7 ÷ 7 = 1

84  = 2² × 3 × 7

 

2) On fait le produit de tous les facteurs, chacun d'eux étant pris une seule fois et avec son plus fort exposant.

Le p. p. m. c.  de 24 et de 84 est : 2³ × 3 × 7 = 8 × 3 × 7 = 168

 

Remarque 1 : Le p. p. m. c. de deux nombres premiers ou deux nombres premiers entre eux est égal à leur produit.

Exemples : - le p. p. m. c. de 13 et 29 est égal à : 13 × 29 = 377

                 - le p. p. m. c. de 15 et 14 est égal à : 15 × 14 = 210

 

Remarque 2 : Si un nombre a est un multiple d'un notre nombre b, alors le p. p. m. c.  de a et b est égal à a.

Exemple : le p.p.m.c de 150 et 450 est égal à 450. Car 450 est multiple de 150.

 

 

Faites le bon choix.



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1. Trouve la liste qui contient 5 multiples communs de 18, et 27 :

2. Lequel de ces nombres est un multiple du p.p.m.c de 18 et 27

3. Le p.p.m.c de 30, 24 et 45 est :

4. Lequel de ces nombres est un multiple commun de 15 et de 21

5. Le p.p.m.c en facteurs premiers de 2³ × 3 × 5² et de 2² × 5³ × 7 est :

6. Trouver une valeur de x telle que x et 9 sont premiers entre eux et que leur p.p.m.c est 90. x =

7. Lequel de ces nombres est un multiple du p.p.m.c de 8 et 9

8. Le p.p.m. de 78 et 39 est :

9. Le p.p.m.c entre a et 75 est 75. a =

10. Le p.p.m.c en facteurs premiers de 3² × 7³ × 11³ et de 3³ × 7² est :










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