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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°48843 : Logarithmes - cours

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Logarithmes - cours


I. Historique
(pour comprendre les propriétés algébriques des logarithmes)

Avant l'invention des calculateurs (ordinateurs, calculatrices, ...) les mathématiciens ont cherché à simplifier les calculs à effectuer

1) Durant l'Antiquité (IIIe siècle avant J.-C.), Archimède avait remarqué que pour multiplier certains nombres, il suffisait de savoir additionner! et qu'il était plus facile d'effectuer des additions plutôt que des multiplications!

Exemple utilisant les puissances de 2 (avec des notations modernes)

exposant n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

nombre

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

Ainsi pour multiplier 16 par 64, on ajoute 4 et 6, on obtient 10 et on cherche dans le tableau le nombre correspondant à n=10, on obtient 1 024

On conclut : 16*64=1 024 car

pour multiplier 16 par 64, on a ajouté les exposants 4 et 6!


L'exposant n de est appelé logarithme à base 2 de X

équivaut à

Ainsi par exemple, , , , et , ...


2) John Napier (ou Neper), baron écossais (1550-1617), a repris et étendu l'idée d'Archimède et a mis au point une méthode générale qui permet d'effectuer

-des additions à la place de multiplications

-des soustractions à la place de divisions

-des divisions par 2 à la place d'extractions de racines carrées

etc.

Neper, avec son ami anglais Henry Briggs, a construit les premières tables de logarithmes décimaux à 8 décimales


Si X est égal à une puissance de 10, , alors l'exposant Y de 10 est appelé logarithme décimal Y du nombre X

Ainsi par exemple, , et

exemple : ici, on utilise les puissances de 10

et : le logarithme du produit est bien la somme des logarithmes.


On peut définir le logarithme à base a, où a est un nombre strictement supérieur à 1:

si , alors = logarithme à base a de X

Dans ce cas, on utilise les puissances de a.

D'après les règles sur les exposants, pour multiplier deux puissances de a, on ajoute les exposants: , l'exposant de a (ou le logarithme) du produit est bien égal à la somme des exposants (ou des logarithmes)


II. Le logarithme népérien

1° Aires sous l'hyperbole

Ci-dessus la courbe de la fonction inverse sur l'intervalle ]0; +∞[; il existe un nombre noté e tel que l'AIRE de la partie située entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites 'verticales' passant par I(1;0) et A(e;0), SOIT ÉGALE à 1, l'unité d'aire étant celle du rectangle de côté 1 dans le repère choisi

A(e;0), B(e2;0) et C(e3;0)

Les aires des trois parties, celle où x varie entre 1 et e, celle où x varie entre e et et celle où x varie entre et , sont toutes les trois égales à 1


2° Le logarithme népérien

Le logarithme népérien est le logarithme de base e, où e est le nombre irrationnel défini ci-dessus dont une valeur approchée est 2,71828; notation:


ainsi, , et pour tout x réel.


Des tables de logarithmes ont alors été utilisées pour effectuer plus facilement des multiplications, des divisions etc. jusqu'au début des années 1980!

Pour calculer un produit , dans la table de logarithmes népériens, les ingénieurs, les élèves, etc. cherchaient et qu'ils additionnaient pour obtenir le résultat D, puis ils cherchaient C tel que et pouvaient conclure AB=C

Aujourd'hui, les tables de logarithmes et les règles à calcul ont été remplacées par les calculatrices; pourtant les logarithmes sont toujours «sur le devant de la scène mathématique» (algorithmes de compression de données, etc. )





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Attention ln(X) existe si et seulement si X>0

Valeurs à connaître: , et

propriétés algébriques: Pour tous X>0, Y>0 et y réel, on a


=
2° Exprimer en fonction de les nombres suivants :
a) =
b) =

3° Exprimer sous forme , où a est un nombre à déterminer, les nombres suivants :
a) =
b) =

4° Pour résoudre une équation (E) comportant des logarithmes, on peut utiliser l'implication:

'Si , alors A=B'

il reste alors à résoudre l'équation obtenue et pour finir, étudier la réciproque, c'est-à-dire regarder si chacune des solutions obtenues est ou n'est pas solution de (E).

Si x est solution de
alors x est solution de
alors x est solution de
alors x est solution de
alors ou ou
L'équation admet solution(s)








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Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques). (tags: fonction )
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