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Inéquations du second degré (2)
Exemple de résolution d'inéquation du second degré où le discriminant est nul: 4x² - 64x + 256 < 0 étape 1: On s'aperçoit que les coefficients sont divisibles par 4. Alors on met 4 en facteur. 4(x²-16x+64) < 0 Or le nombre 4 est positif non nul, on en déduit qu'il suffit de résoudre: x²-16x+64 < 0 étape 2 : On reconnait le développement de (x-8)² On en déduit que l'inéquation proposée est équivalente à (x-8)² < 0 Remarque: si on n'avait pas vu que l'on pouvait facilement factoriser à l'aide de l'identité a²+2ab+b²=(a+b)², on aurait pu calculer le discriminant et on aurait obtenu un discriminant nul. Théorème: Lorsque le discriminant est nul, on peut factoriser ax²+bx+c sous la forme a(x-x1)² où x1 est l'unique racine réelle du polynôme. Alors le nombre ax²+bx+c=a(x-x1)² est un nombre réel positif ou nul; ce nombre est nul lorsque x=x1. conclusion : le polynôme (x-8)² est POSITIF ou NUL quelle que soit la valeur de x (dans IR) et (x-8)² est NUL lorsque x=8 étape 3: Résolution de l'inéquation 4x² - 64x + 256 < 0 4x²-64x+256 = 4 (x-8)² n'est jamais strictement négatif dans IR; donc l'inéquation n'a pas de solution réelle L'ensemble des solutions de 4x²-64x+256 < 0 est l'ensemble vide, soit Ø Autres inéquations:
Exemple de résolution d'inéquation du second degré où le discriminant est strictement négatif 2x² + 4x + 3≥ 0 étape 1 : on donne a, b, c coefficients du polynôme ax²+bx+c a=2, b=4 et c=3 étape 2 : signe de a = POSITIF étape 3 : calcul du discriminant : Δ= b² - 4ac Δ=16 - 4.2.3 = 16-24 = -8 étape 4 : Lorsque le discriminant est strictement négatif, le polynôme n'admet pas de racines réelles et le signe de ax²+bx+ Conclusion : le nombre 2x²+4x+3 > 0 pour tout réel x
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