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[Maths] Cosinus ?
Message de harrypotter posté le 03-04-2007 à 16:29:31 (S | E | F | I)

Bonjour tout le monde

Voici un exercie de géométrie qui me pose des problèmes car je ne sais par où commencer !

ABC est un triangle rectangle en A et [AH] son hauteur

1/Démontrez que BC²=2AH²+BH²+CH²
2/Démontrez que AH²=BHxCH
3/Démontrez que AB²=BHxBC


A mon avis, on devrait utiliser les cosinus tel que : cosBÂC=AB/AC

Non ?

En tout cas je vous remercie d'avance pour vos précieuses aides !

encore et à très bientôt



Réponse: [Maths] Cosinus ? de marie11, postée le 03-04-2007 à 16:55:46 (S | E)
Bonjour harrypotter.

Bien entendu on pourrait utiliser les lignes trigonomètriques d'un des angles aigus du triangle rectangle.
Mais pourquoi compliquer les choses !!

Il suffit de connaître le théorème de Pythagore, et de savoir utiliser à bon escient les identités remarquables.

Un petit effort et tu vas y arriver.


Réponse: [Maths] Cosinus ? de magstmarc, postée le 03-04-2007 à 17:10:29 (S | E)
Hello Harry,

Attention, les leçons de trigonométrie que tu as vues en classe pour le triangle rectangle s'appliquent aux angles aigus du triangle rectangle, et BÂC est ici l'angle droit, donc il n'est pas question d'écrire cos BÂC = AB/AC (c'est faux)
1)Tu as la relation de Pythagore qui permet d'exprimer BC² en fonction de AB² et AC².
Mais, si tu regardes bien la figure, AHB et AHC sont aussi des triangles rectangles, donc, si on écrit le théorème de Pythagore dans chacun de ces triangles...je te laisse finir.




Réponse: [Maths] Cosinus ? de harrypotter, postée le 07-04-2007 à 16:22:55 (S | E)
Bonjour tout le monde

Un grand merci pour marie11 et mag pour leurs précieuses aides !
Donc mag, et selon vos instructions, voici ce que j'obtiens :

1/ Pour démontrer que BC²=2AH²+BH²+CH²

On considère le triangle ABC rectangle en A donc selon le théorème de Pythagore on a :
BC²=AB²+AC²

On considère le triangle AHB rectangle en H donc selon le théorème de Pythagore on a :
AB²=AH²+BH²

On considère le triangle AHC rectangle en H donc selon le théorème de Pythagore on a :
AC²=AH²+CH²

Alors, BC²=2AH²+BH²+CH²

Mais concernant les 2 autes démonstrartions, je n'ai point su comment y procéder, tout en sachant que je suis en 2ème année du collège ! Car un cher ami (younes91 que je remercie à l'occasion) m'a donné un coup de main concernant ces deux dernieres demonstrations sauf qu'il avait utilisé des nombres qu'on avait guère etudié à) l'instant ! (des nombres avec des flèches au dessus)

Ainsi pourrait-on démontrer que AH²=BHxCH et que AB²=BHxBC sans les utiliser ?

d'avance !!!



Réponse: [Maths] Cosinus ? de magstmarc, postée le 07-04-2007 à 16:38:48 (S | E)
Bonjour Harry,

2) Utilise BC = BH + CH et mets tout ceci au carré, tu devrais trouver des choses intéressantes en liaison avec la question précédente
3) Là le cosinus de l'angle aigu en B pourrait être utile...

Bon travail, poste le résultat de tes recherches ici


Réponse: [Maths] Cosinus ? de marie11, postée le 07-04-2007 à 16:58:13 (S | E)
Bonjour harrypotter.

C'est bien. Tu as fait un effort.

2- Puisque H se trouve sur le segment [BC] alors B ; H ; C sont alignés dans cet ordre et on a :
BC = BH + HC.

Calcule alors (BH + HC)².

Utilise l'expression trouvée en 1- pour simplifier le résultat.

3- Dans 1- tu as écrit :

AB² = AH² + BH²

Remplace AH² par la valeur que tu as trouvée en 2- et factorise.


Réponse: [Maths] Cosinus ? de harrypotter, postée le 07-04-2007 à 21:06:22 (S | E)
Bonjour tout le monde

2/Puisque H se trouve sur le segment [BC] alors B ; H ; C sont alignés dans cet ordre et on a :
BC = BH + HC.
Ce qui veut dire que BC² = BH² + HC²
Et puisque BC² = 2AH² + BH² + CH²

Donc 2AH² + BH² + CH² = BH² + HC²
Ce qui veut dire que BC² = 2AH² + BH² + CH² = BH² + HC²

Donc BC² = 2AH² !?!?!?

Alors où est ce que j'auraiu pu commettre une faute ?




Réponse: [Maths] Cosinus ? de younes91, postée le 07-04-2007 à 22:24:13 (S | E)
Bonsoir harrypotter,

1) BC² = AB²+BC²; ensuite remarquer que AB² et AC² sont eux-mêmes hypoténuses de deux triangles rectangles
2) utiliser le fait que les triangles AHB et CHA sont semblables; trouver les deux rapports égaux dont on peut tirer le bon produit en croix
3) même chose, mais ici les triangles semblables sont AHB et CAB.

Bonne continuation.



Réponse: [Maths] Cosinus ? de magstmarc, postée le 07-04-2007 à 22:57:07 (S | E)
Hello Harry,

(BH + HC)² n'est PAS égal à BH² + HC².
Pense aux identités remarquables...

Younes : je ne pense pas que Harry ait déjà étudié les triangles semblables...je peux me tromper car l'enseignement au Maroc n'est pas tout à fait le même qu'en France...Harry tu confirmeras ou pas !


Réponse: [Maths] Cosinus ? de harrypotter, postée le 08-04-2007 à 00:10:28 (S | E)
Bonjour tout le monde

Effectivement mag, on n'a pas encore etudié les triangles semblables, mais on les étudiera d'ici une semaine !

A mon avis les triangles semblables veulent dire que si 2 triangles ont les mêmes longueurs de cotés donc ils sont semblables ???
Je crois qu'il y a d'autres critères pour dire que 2 triangles sont semblables !!!

Donc revenons à nos moutons voici ce que je constate :

1/Pour démontrer que BC²=2AH²+BH²+CH²

On considère le triangle ABC rectangle en A donc selon le théorème de Pythagore on a :
BC²=AB²+AC²

On considère le triangle AHB rectangle en H donc selon le théorème de Pythagore on a :
AB²=AH²+BH²

On considère le triangle AHC rectangle en H donc selon le théorème de Pythagore on a :
AC²=AH²+CH²

Alors, BC²=2AH²+BH²+CH²

2/Pour démontrer que AH²=BHxCH

Puisque H se trouve sur le segment [BC] alors B ; H ; C sont alignés dans cet ordre et on a :
BC = BH + HC.
Ce qui veut dire que BC²=BH²+2(BHxCH)+HC²
Et puisque BC²=2AH²+BH²+CH²

Donc 2AH²+BH²+CH²=BH²+2(BHxCH)+HC²
Ce qui veut dire que 2AH²+BH²+CH²=BH²+2(BHxCH)+HC²
Donc AH²=BHxCH

2/Pour démontrer que AB²=BHxBC

On considère le triangle ABC rectangle en A donc
cos ABC=AB/BC

Et on considère le triangle AHB rectangle en H donc
cos ABH=BH/AB

Donc et puisque cos ABC=cos ABH
On a AB/BC=BH/AB

Ainsi AB²=BHxBC


----------------------------------------------------------

Je crois que c'est juste !
En tout cas, un grand....NOON Un BIIIIIIIIIIIIIIIIIIIG à magstmarc, marie11 et younes91 (en ordre alphabétique !)pour vos précieuses aides !!!

Mais tout de même, je crois qu'il y a d'autres façons de déomontrer cela n'est ce pas

A très bientôt !!!




Réponse: [Maths] Cosinus ? de magstmarc, postée le 08-04-2007 à 00:46:18 (S | E)
You're Harry
pour ta production finale !
Sincèrement je trouve que c'est démontré de façon assez simple comme ça. Peut-être que quand tu auras vu les triangles semblables tu penseras à une autre démonstration possible
Au fait, non, la définition que tu as donnée ne correspond pas à des triangles semblables mais isométriques, c'est-à-dire superposables...ce qui n'est pas le cas de ABC et ABH )


Réponse: [Maths] Cosinus ? de harrypotter, postée le 08-04-2007 à 00:58:07 (S | E)
à vous aussi !!!

Encore

Apparemment oui j'ai dû confondre les triangles isométriques avec les triangles semblables !!!

encore et à bientôt !


Réponse: [Maths] Cosinus ? de marie11, postée le 08-04-2007 à 07:36:34 (S | E)
Bonjour Harrypotter.

Je pense que cet exercice est une application du cours.
Avec ton professeur vous avez dû étudier les factorisations, les développements, ainsi que le théorème de Pythagore.

Pour rester dans le cadre de cette étude voici ce que je te propose pour la dernière question.

On considère le triangle rectangle BHA.
D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :

AB² = AH² + BH² (1)

Mais dans la question précédente on a démontré que :

AH² = BH.HC (2)

Dans l'égalité (1) on remplace AH² par sa valeur exprimée dans l'égalité (2).
On obtient :

AB² = BH.HC + BH² (3)

On factorise le second membre de (3)

AB² = BH(HC + BH)*

Or B ; H ; C sont alignés dans cet ordre donc BH + HC = BC.

Conséquence :
AB² = BC.BH.

* Note :
Etant donné un segment [AB] sa longueur est notée indifféremment AB ou BA.






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