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[Maths]Démonstration 1
Message de younes91 posté le 23-03-2007 à 20:50:49 (S | E | F | I)

Voici un exercice de maths pour les bacheliers:

Démontrez par récurrence sur n (n appartient à N*) que:

-somme des n premiers entiers naturels non nuls:
1+2+....+n = n(n+1)/2

-somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls:
1²+2²+....+n² = n(n+1)(2n+1)/6

Alors, fais de ton mieux pour résoudre ce problème!!!

Correction: Vendredi 30 Mars 2007.

Cordialement.

-------------------
Modifié par bridg le 28-03-2007 09:43
transfert

-------------------
Modifié par younes91 le 30-03-2007 20:21
J'ai changé la date de correction, puisqu'il semble que je ne serais pas là...


Réponse: [Maths]Démonstration 1 de marie11, postée le 28-03-2007 à 07:48:23 (S | E)
Bonjour.

Ce sujet classique et intéressant aurait dû être transféré sur le forum mathématiques.


Réponse: [Maths]Démonstration 1 de marie11, postée le 28-03-2007 à 11:04:12 (S | E)
Bonjour.

Somme des n premiers nombres entiers.

Voici une démonstration très simple du calcul de la somme des n premiers nombres entiers, basée sur les propriétés de l'addition, de la multiplication, ainsi que sur les propriétés des égalités.

S = 1+2+3+4+5+......(n-1)+n
L'addition étant commutative on peut écrire aussi :
S = n+(n-1)+.......5+4+3+2+1
On ajoute membre à membre ces deux égalités en remarquant que dans le second membre on peut grouper les termes (propriété d'associativité) par deux de telle sorte que leur somme soit (n+1).
En effet on a :
n+1 , puis 2+(n-1)=n+1, puis 3+(n-2)=n+1 etc.......

et l'on peut former n groupements puisqu'il y a n nombres.

Il s'ensuit que :
S+S = 2S = n(n+1).
S = n(n+1)/2

Exemple : calculer la somme des 10 premiers nombres entiers.

En appliquant - directement - la formule on obtient.

S = 10*11/2 = 55

Application :

Calculer la somme des nombres entiers de 105 à 247.


Réponse: [Maths]Démonstration 1 de younes91, postée le 28-03-2007 à 22:37:53 (S | E)

Bonjour à tous,
Puisque Marie a fait une bonne démonstration, pourquoi pas résoudre son exercice?!
Application : Calculer la somme des nombres entiers de 105 à 247.

Donc, voici ma proposition :

On sait que :S = n(n+1)/2
Par exemple, si n=5, la somme des nombres entiers de 1 à 5 est : S = 5(5+1)/2 = (5 x 6)/2 = 30/2 = 15.
Ainsi, por résoudre l'exercice de Marie, c'est autre chose:

105+106+107+108+109+..........+245+246+247
=105+(105+1)+(105+2)+(105+3)+(105+4)+........+(105+140)+(105+141)+(105+142)
=[(247-105)+1] x 105+1+2+3+4+5+7+8+.............140+141+142
=(143 x 105) +[(142 x 143)/2]
=15015 + 20306/2
=15015 + 10135
=
25150

Alors, la somme des nombres entiers de 105 à 247 est 25150, si je ne me suis pas trompé...
Merci Marie pour ton exercice.
Cordialement.



-------------------
Modifié par younes91 le 29-03-2007 11:37


Réponse: [Maths]Démonstration 1 de marie11, postée le 29-03-2007 à 07:12:48 (S | E)
Bonjour Younès.

Il y a une erreur de calcul : une simple étourderie sans doute !

Voilà ce que tu as écrit :

[(247 - 105) + 1] x 105 = 142 x 105, tu as oublié d'ajouter 1 !

Le bon résultat est 143 x 105.

Il y a aussi une autre méthode :

On calcule la somme S de 1 à 247. Puis la somme S' de 1 à 104.
La différence S - S' est la somme de 105 à 247.


Réponse: [Maths]Démonstration 1 de younes91, postée le 29-03-2007 à 11:35:31 (S | E)
Ah oui, tu as raison Marie, j'ai corrigé la faute.



Réponse: [Maths]Démonstration 1 de marie11, postée le 29-03-2007 à 16:23:09 (S | E)
Bonjour.

Une autre méthode pour calculer la somme des n premiers entiers consiste à utiliser l'identité remarquable :

(a + b)² = a² + 2 ab + b²

Calculons successivement :

(1 + 1)² = 1² + 2*1 +
(1 + 2)² = 1² + 2*2 + 2²
(1 + 3)² = 1² + 2*3 + 3²
...................................................
...................................................
...................................................
(1 + (n-1))² = 1² + 2*(n-1) + (n-1)²
(1 + n)² = 1² + 2*n + n².

Si on ajoute membre à membre ces égalités, on remarque que des simplifications sont évidentes.
(1+1)² = 2²
(1+2)² = 3²
....................................................
Après simplifications on obtient :
(1 + n)² = n + 2(1 + 2 + 3 +......+(n-1) + n) + 1
(1 + n)² - (n + 1) = 2(1 + 2 + 3+......+ n)
(1 + n)(1 + n - 1) = 2(1 + 2 + 3+......+ n)
d'où
n(n + 1)/2 = 1 + 2 + 3 +.......+ n

n est la somme 1 + 1 + 1 +.....+ 1 (n termes)


Réponse: [Maths]Démonstration 1 de younes91, postée le 30-03-2007 à 20:56:03 (S | E)

Bonjour à tous,
Voici la correction de mon exercice:
Application :
Démontrez par récurrence sur n (n appartient à N*) que:
-somme des n premiers entiers naturels non nuls:
1+2+....+n = n(n+1)/2
-somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls:
1²+2²+....+n² = n(n+1)(2n+1)/6

n appartient à N* car pour n=0 le premier membre n'est pas défini:
On ne peut pas aller en croissant de 1 à n=0.
1/ La propriété est vraie pour n = 1 : en effet 1 = 1x2/2
Supposons quelle soit vraie pour un certain entier n>0 :

Sn = 1+2+.....+n = n(n+1)/2

Alors Sn+1 = 1+2+.....+n+(n+1)

= n(n+1)/2 + (n+1)
= n(n+1)/2 + 2(n+1)/2

= (n+1)(n+2)/2 ==> la propriété est vraie aussi pour n+1.

Donc, par récurrence, elle est vraie pour tout entier n>0

-Autre démonstration (voir post de marie11 ci-dessus):
Sn = 1 + 2 +............+p+.......+(n-1)+n
Sn = n+(n-1)+........+n-(p-1)+...+ 2 + 1
==> La somme de deux termes écrits l'un en dessous de l'autre est égale à n+1, et il y a n termes.
en additionnant ces deux égalités membre à membre on a donc

2Sn = n(n+1) , soit Sn = n(n+1)/2
C'est la méthode générale pour calculer la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique (1+2+.....+n est la somme des n premiers termes de la progression arithmétique de 1er terme 1 et de raison 1).
Remarque : On a montré que 1+2+.....+n = n(n+1)/2
Donc, on a montré que n(n+1)/2 est un entier.
En effet parmi les deux entiers consécutifs n et n+1 , il y a toujours un multiple de 2.

2/ La propriété est vraie pour n = 1 : 1² = 1(1+1)(2+1)/6
Supposons quelle soit vraie pour un certain entier n>0 :

S'n = 1²+2²+.....+n² = n(n+1)(2n+1)/6


alors S'n+1 = 1²+2²+........+n² + (n+1)²

= n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)²
= (n+1)[n(2n+1)+6n+6]/6

= (n+1)(n+2)(2n+3)/6

= (n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]/6

(Car on vérifie que [n(2n+1)+6n+6] = (n+2)(2n+3).(il suffit de développer ces deux expressions pour constater qu'elles sont égales))

==> la propriété est vraie aussi pour n+1, donc elle est vraie pour tout entier n>0


Bon travail Marie.
Cordialement.
Younes.




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Modifié par magstmarc le 31-03-2007 15:36

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Modifié par magstmarc le 31-03-2007 15:43

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Modifié par magstmarc le 31-03-2007 15:43




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