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Continuité - limite - point fixe (cpge)

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Continuité - limite - point fixe (cpge)
Message de safwanito posté le 26-11-2022 à 09:47:47 (S | E | F)
J'ai besoin d'aide en ce question, je me bloque après l'utilisation de définition de la limite.
Soit f: R+--> R+ continue. On suppose que x--->f(x)/x admet une limite l<1 en +00.
Montrer que f admet un point fixe.


Réponse : Continuité - limite - point fixe (cpge) de tiruxa, postée le 26-11-2022 à 12:03:25 (S | E)
Bonjour

Personnellement je considérerais deux cas :

1er cas f(0)=0 , facile 0 est point fixe

2eme cas f(0)>0

Il faut juste démontrer que l'équation f(x)= x admet une solution dans R+

ou encore que f(x)/x =1 admet une solution dans R+*

On va appliquer le TVI (th des valeurs intermédiaires)

Posons g(x)=f(x)/x

g est continue sur ]0;+inf[
la limite de g en 0+ est +inf (car f(0)/0+)
donc il existe a tel que g(a)>1

Or la limite de g en +inf est L



Réponse : Continuité - limite - point fixe (cpge) de tiruxa, postée le 26-11-2022 à 13:50:45 (S | E)
(la fin a sauté...)

Je disais que la limite en +inf est L avec L<1 donc on peut trouver un b tel que f(b)<1, il suffit d'utiliser la definition de la limite...

Enfin on applique le TVI sur l'intervalle fermé [a;b] ce qui permet de conclure



Réponse : Continuité - limite - point fixe (cpge) de safwanito, postée le 26-11-2022 à 15:19:35 (S | E)
Bonjour,

Merci énormément pour votre aide. Est-ce que c'est correct comme ça?
Lien internet




Réponse : Continuité - limite - point fixe (cpge) de tiruxa, postée le 27-11-2022 à 11:43:46 (S | E)
C'est correct sauf pour les 4 lignes de la fin qu'il faut un peu modifier :

En effet on ne peut pas affirmer que l'image par g de ]0;+inf[ soit ]L;+inf[ car on ne connait pas le sens de variation de g.
On aurait cela si elle était strictement décroissante sur ]0;+inf[ mais si elle n'est pas monotone on pourrait avoir un intervalle plus grand que ]L;+inf[.
Toutefois c'est sûr que 1 étant dans ]L;+inf[ il sera aussi dans un intervalle plus grand qui le contient, voilà... la fin est correcte




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