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Progression arithmétique

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Progression arithmétique
Message de asmamoussaoui posté le 14-06-2022 à 20:37:16 (S | E | F)

Bonjour !

Pouvez vous me dire comment je peux déterminer U2 et r dans cette progression arithmétique ?:

Soit (Un) une progression arithmétique décroissante. Son premier terme (U0) sa raison (r):

U1 + U2 + U3 = 24 

et 

U1² + U2²+ U3² = 210




Réponse : Progression arithmétique de wab51, postée le 14-06-2022 à 23:31:41 (S | E)
Bonsoir
1) Exprimer chacun des termes U_1 , U_2 , U3 en fonction de U_o et r puis remplacer dans la somme=210 pour trouver une relation (une égalité ) U_0 en fonction de r
2) Mettre la somme U_1²+ U_2² +U_3² = 210 en fonction de U_0 et r .
3) Former le système de deux équations à deux inconnues U_o et r à partir des relations trouvées de 1) et 2) .
4) Résoudre ce système (une solution unique )
Transmettez votre travail pour éventuelle orientations ou corrections .Bonne continuation et bon courage



Réponse : Progression arithmétique de wab51, postée le 15-06-2022 à 06:10:51 (S | E)
Bonjour
Mes excuses ,j'avais mal lu la question de l'énoncé .J'avais considéré U_0 au lieu de U_2 .

1) Déterminer U_2 la moyenne arithmétique à partir de U_1+U_2+U_3=24
2) Remplacer la valeur de U_2 trouvée dans 1) dans U_1² + U2² + U_3² = 210 .
3) Exprimer U_1 et U_3 en fonction de U_2 et r puis remplacer pour tomber sur une équation du 2e degré en r à résoudre pour trouver r
Poster vos résultats . Bon courage



Réponse : Progression arithmétique de chezmoi, postée le 15-06-2022 à 10:38:17 (S | E)
Bonjour
J’ai essayé de comprendre votre demande.
Soit une progression arithmétique décroissante ⇒ U₀, U₁ = U₀ + r, U₂ = U₀ + 2r, U₃ = U₀ + 3r
Et U₁ + U₂ + U₃ = 24 ⇒ 3U₀ + 6r = 24 ⇒ U₀ + 2r = 8
U₁² + U₂² + U₃² = (U₀ + r)² + (U₀ + 2r)² + (U₀ +3r)² = 3U₀² + 14r² + 11rU₀
Et après ?

Bonne chance



Réponse : Progression arithmétique de wab51, postée le 15-06-2022 à 15:37:48 (S | E)
Bonjour chezmoi
Je pense que vous allez à l'avant et un peu trop vite en prenant part de répondre à la place de la concernée qui cherche à gouter le plaisir de comprendre pour répondre .Laissons la le temps , ne serait ce que pour voir déjà ce qu'elle sait ou peut faire .Merci et bien amicalement .



Réponse : Progression arithmétique de chezmoi, postée le 15-06-2022 à 17:21:14 (S | E)
D'accord et merci !



Réponse : Progression arithmétique de wab51, postée le 15-06-2022 à 20:28:35 (S | E)
Bonsoir chezmoi
De bon coeur cher chezmoi .Avec mes grandes considérations et profonds respects .



Réponse : Progression arithmétique de asmamoussaoui, postée le 16-06-2022 à 01:58:59 (S | E)

Bonjour !

Pouvez vous me dire si c'est juste comme ça ?

Je vous remercie beaucoup pour votre précédentes réponses et pour votre aide !

 

1) Trouver r :

on a :    U1 + U2 + U3 = 24 ...... 🅰

              U1 + U2 + U3 = 210 .....🅱

Et on sait que : Un = U0 + (n-p)r

Alors : U1 = U0 + (1-0)r = U0 + r

            U2 = U0 + (2-0)r = U0 + 2r

            U3 = U0 + (3-0)r = U0 + 3r

*En remplaçant U1 et U2 et U3 par leurs valeurs dans l'equation 🅰 on trouve :

U1 + U2 + U3 = 24

U0 + r + U0 + 2r + U0 + 3r = 24

3U0 + 6r = 24

*En remplaçant U1 et U2 et U3 par leurs valeurs dans l'équation 🅱 on trouve :

(U0+r)²+ (U0+2r)²+(U0+3r)²=210

                            .

                            .

                            .

3U0²+14r²+ 12U0r=210

Alors on a :

3U0 + 6r = 24 

3U0²+14r²+ 12U0r=210

➡ U0 + 2r = 8

      3U0² +14r² +12U0r = 210

➡ U0 = 8 - 2r🅾

      3U0² +14r² +12U0r = 210 🅿

En remplaçant l'équation 🅾 dans  🅿 on trouve :

r = 3

2) Trouver U2 :

On a U0 = 8 - 2r      et : r = 3

Donc : U0 = 8 - 2 × 3 = 2

Alors : U2= U0 + 2r = 2 + 2 × 3 = 8 

 

 





Réponse : Progression arithmétique de wab51, postée le 16-06-2022 à 05:01:05 (S | E)
Vous aviez donc choisi la 1ère méthode (que j'avais conseillé à éviter parce qu'elle est longue) au lieu de la seconde .Je respecte votre choix .Pour la correction en couleur bleue
3U0² +14r² +12U0r = 210 🅿
En remplaçant l'équation 🅾 dans 🅿 on trouve :2r²+19r=210 soit r²=9 donc r=+3 ou r=-3 .Comme la suite est décroissante donc r est négatif ,la solution est r=-3 et non r = 3 .
Pour trouver U_2? On a U_0=8-2r=8-2*(-3)=8+6=14 et U_2=U_0+2r=14+2*(-3)=14-6=8
Votre erreur provenait de r=3 au lieu de r=-3 et par conséquent vos résultats sur les termes de la somme sont malheureusement fausses .Votre résultat de U_2=8 n'est qu'un pur hasard !
Voici les résultats exacts des termes de la suite décroissante de raison r=-3: U_o=14 , U_1=11 , U_2=8 , U_3=5

Je vous laisse le soin d'utiliser la 2e méthode que je vous avais déjà proposée tout au début dans mon second message .(elle est plus courte et plus légère ) .Merci et félicitations

-------------------
Modifié par wab51 le 16-06-2022 05:02





Réponse : Progression arithmétique de chezmoi, postée le 16-06-2022 à 12:48:03 (S | E)
Bonjour,
Super asmamoussaoui ! :-)

Tout d'abord il faut comprendre et vous y avez réussi !

Félicitations !



Réponse : Progression arithmétique de asmamoussaoui, postée le 16-06-2022 à 17:15:22 (S | E)

Bonjour !

Ah c'est vrai ! quand j'ai utilisée r = -3 et j'ai calculée et remplacée U1, U2, U3 par leurs valeurs dans U1 + U2 + U3 = 24 et U1² + U2²+ U3² = 210 j'ai trouvée 24 et 210

Concernant la 2e méthode, voici ce que j'ai fait :

On a : U1 + U2 + U3 = 24 

              et 

           U1² + U2²+ U3² = 210

Alors :

U2 = 24 - U1 - U3 

U1² + (24 - U1 - U3)² + U3² = 210

U1² + 24² + U1² + U3² - 2(24 × U1 + U1 × U3 + 24 U3) + U3² = 210

U1² + 576 + U1² + U3² - 48U1 - 2 U1U3 - 48U3 + U3² = 210

2U1² + 2U3² - 48U1 - 2U1U3 - 48U3 = 210 - 576

2U1² + 2U3² - 48U1 - 2U1U3 - 48U3 = - 366

Puis j'ai bloquée, je ne savais pas comment continuer. J'ai pa bien comprimée cette méthode

l'essentiel j'ai trouvée U2 et r 😀 quelle que soit la méthode

je vous remercie énormément d'avoir pris de votre temps pour m'aider, que Dieu vous récompense !

 

 





Réponse : Progression arithmétique de wab51, postée le 16-06-2022 à 22:12:53 (S | E)
2e méthode
U_1 , U_2 , U_3 sont en progression arithmétique donc la moyenne arithmétique de U_1 et U_2 est 2U_2=U_1+U_3
1) Calcul de U_2 à partir de la moyenne arithmétique
U_1+U_2+U_3=24 ↔ U_2 + 2U_2=24 ↔ 3U_2=24 ↔ U_2=8
2) Calcul de la raison r ?
D'après l'identité remarquable : (U_1+U_3)²=U_1²+U_3²+2U_1*U_3 d'où U_1²+U_3²=(U_1+U_3)²-2U_1*U_3 =(2U_2)²-2U_1*U_3 =256-2U_1*U_3 donc
U_1²+U_2²+U_3²=210 ↔ 64+256-2U_1*U_3=210 ↔ U_1*U_3=55 .Puisque U_1 , U_2 et U_3 sont en progression arithmétique on a donc
U_1=U_2 - r et U_3=U_2 + r .On remplace et et on trouve (U_2 - r)(U_2 + r)=55 ↔ U_2² - r² =55 (identité remarquable ) ↔ r²=U_2² -55 soit r²=64-55 ↔ r²=9 donc cette équation a deux solutions r=-3 ou r=3 mais comme la progression arithmétique est décroissante alors est négatif donc la solution qui convient est r=-3 .Au plaisir et merci



Réponse : Progression arithmétique de wab51, postée le 17-06-2022 à 00:44:20 (S | E)
Enfin une 3e méthode (encore plus simple ,plus courte et plus rapide )
U_1 , U_2 , U_3 termes d'une progression arithmétique décroissante de premier terme U_0 et de raison tels que
U_1+U_2+U_3=24 et U_1² + U_2² + U_3² =210 .

Par application de la définition on peut écrire : U_1=U_2-r et U_3=U_2+r que l'on remplace
1) dans la 1ere somme et on trouve facilement U_2=8
2) puis dans la seconde somme
soit donc (U_2 - r)² + U_2² +(U_2 +r)²=210 ↔ (8-r)² + 8² + (8+r)²=210 ↔ 64+r²-16r+64+64+r²+16r=210 ↔ r²=9 seule la solution r=-3 convient car la progression arithmétique est décroissante . Merci en vous souhaitant les plus meilleures réussites .




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