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Dérivabilité fonction réciproque

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Dérivabilité fonction réciproque
Message de safwanito posté le 28-11-2021 à 19:18:41 (S | E | F)
Bonjour , au secours !
Je suis bloqué en question 2)b

Lien internet



Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de chezmoi, postée le 28-11-2021 à 19:50:19 (S | E)
Bonsoir,

2b) Commencez par la définition ... lim dx→0 (h(x+dx) – h(x)) /dx = h'(x)...
évaluez (en fonction de quoi ?)
...
lim X→0+ h'(X)
...


Bonne chance !



Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de flaja, postée le 29-11-2021 à 12:10:18 (S | E)
bonjour,
remarque : atan(f(x)) = π/x
f_reciproque(y) = x(y) = π / atan(y)
(utile pour vérifier numériquement les résultats)

Quand on a une forme indéterminée : limite u(x)/v(x) = 0/0,
il est souvent utile d'utiliser la règle de l'hôpital :
limite u(x)/v(x) = limite u'(x)/v'(x)
( qui s'obtient par un développement limité à l'ordre 1 )



Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de safwanito, postée le 29-11-2021 à 13:29:52 (S | E)
Bonjour ,
J'ai pas le droit d'utiliser la règle de l'hopital d'abord car c'est hors programme scolaire.
De plus, la forme indéterminée qu'on va trouver n'est pas 0/0. C'est en fait : (infini * 0) qu'on essaie de calculer la limite suivante :

Lim (h(x) - h(0))/x
x->0+
= Lim 1/ (f-¹(x)* x)
x->0+
Or lim f-¹(x) = + infini
x->0+

D'où l'indétermination qui me bloque de determiner la dérivabilité de h à droite en 0. Et d'apres la question qui suive (voir la photo sur le lien), h est dérivable sur le fermé [0, +infini[ donc il parait bien qu'elle doit être dérivable à droite en 0.



Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de wab51, postée le 29-11-2021 à 13:48:24 (S | E)

Bonjour 

2-b)Je pense ce qui te pose le problème est la détermination de la limite  de arctan(x)/x quand x tend vers 0+(on tombe sur une forme indéterminer 0/0) .

Pour lever l'indermination ,personnellement ,mieux "appliquer la méthode du développement limité de arctan(x) en 0 qui est 

arctan(x)=x-x^3/3 +x^5/5 +...+0(x^2n+1) .

  





Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de wab51, postée le 29-11-2021 à 13:50:15 (S | E)

 





Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de wab51, postée le 29-11-2021 à 14:19:55 (S | E)

 





Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de tiruxa, postée le 29-11-2021 à 14:50:53 (S | E)
Bonjour

Pour cette limite on peut aussi changer de variable, en posant X=Arctan x
On a x=tan X
x tend vers 0 si et seulement si X tend vers 0

Donc la limite en 0 de (Arctan x)/x est égale à la limite de X/tanX quand X tend vers 0.

Or on sait que la limite en 0 de tanx/x est égale à 1, donc la limite en 0 de (Arctan x)/x est 1



Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de safwanito, postée le 29-11-2021 à 20:49:02 (S | E)
Bonsoir,
Merci pour vos réponses. Vous m'avez aidé énormément meme si je connaissais pas la fonction réciproque du tan "arctan"
Bonne nuit et merci.




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