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DM 1ère spé

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DM 1ère spé
Message de liliebrt posté le 27-11-2021 à 14:31:46 (S | E | F)

Bonjour, j'espère que vous allez bien.

J'ai un DM de maths à rendre pour lundi. Cela fait plusieurs jours que j'essaie mais je ne suis pas très douée en maths, et j'ai vraiment du mal. Si quelqu'un peut m'aider, j'en serai très reconnaisante. 

Voici l'énoncé : 

Mes réponses sont en bleu.

Partie A: Des exemples.

En remplaçant les pointillés par des signes + et un seul signe =, comment obtenir une égalité dans :

a) 4 + 5 + 6 = 7 + 8

b) 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15


Partie B: En fixant la place du signe d'égalité.


On cherche à construire des égalités analogues, du type n+(n+1)+...+(n+p) = (n+p+1)+...(n+k)

où n, p et k sont des entiers naturels non nuls.

1)Quelles valeurs de n, p et k correspondent égalités trouvées partie A ?

a) n= 4, p=2, k=4

b) n=9, p=3, k=6

2) Cas où il y a un terme de moins droite du signe d'égalité qu'à gauche.


a) Combien de termes comprend la somme n+(n+1)+...+(n+p) ?

Je pense qu'il y a (p+1) termes mais je ne sais pas comment justifier

 

b) Montrer que n+ (n+1)+...+(n+p) = ((p+1)(2n+p))/2


somme des n : n*(p+1) 

 

donc n+(n+1)+...+(n+p)

= n*(p+1) + (p(p+1))/2

= np+n+(p(p+1))/2 =(2np + 2n + p(p+1))/2

= (2n(p+1) + p(p+1))/2

= ((p+1)(2n+p))/2

c) Exprimer en fonction de et p le dernier terme de la somme située à droite du signe d'égalité, sachant qu'elle contient un terme moins que celle située gauche du signe d'égalité.

 

d) En déduire la somme des termes situés à droite du signe d'égalité.


e) Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si n=p².


f) Ecrire deux nouvelles égalités analogues à celles de la partie A.

 

3) Cas où il y a deux termes de moins à droite du signe d'égalité qu'à gauche.

 

a) En suivant la même démarche qu'à la question 2 de la partie B, montrer que l'on doit avoir n=(p(p-2))/2

b) Trouver deux égalités de ce type.

c) Justifier qu'une telle égalité ne peut avoir lieu qu'avec un nombre impair de termes de chaque côté du signe d'égalité.

 

Merci d'avance à ceux qui vont me répondre





-------------------
Modifié par liliebrt le 27-11-2021 14:33




Réponse : DM 1ère spé de tiruxa, postée le 27-11-2021 à 16:26:18 (S | E)
Bonjour

Pour compter le nombre de termes c'est comme le nombre de jours

Par ex du 5 au 21 inclus il y a 21-5+1=17 jours

Donc de n à n+p il y a (n+p)-n+1=p+1 termes

ou encore de n+p+1 à n+k il y a (n+k)-(n+p+1)+1=k-p termes

autre rappel pour touver la somme des termes d'une suite arithmétique on fai:
(premier terme+dernier terme)(nombre de termes)/2

Donc calculer (n+p+1)+(n+p+3)+...(n+k)
sachant qu'il doit y avoir p temes

Déterminer k puis calculer la somme



Réponse : DM 1ère spé de liliebrt, postée le 28-11-2021 à 10:55:15 (S | E)

Merci,

2.

c) Il y a un terme de moins à droite qu'à gauche donc il y a p termes

donc (n+p+1)+....(n+k) = (n+p+1)+...+(n+p+p)

k=2p

Le dernier terme est (n+k) et peut aussi s'écrire (n+2p) 

d) (n+p+1)+...+(n+k) 

= (n+p+1)+...+(n+2p)

=((n+p+1+n+2p)*p)/2

=(p(2n+3p+1))/2

 

e) Les sommes sont égales 

donc

((p+1)(2n+p))/2 = (p(2n+3p+1))/2

2pn +p+2n+p = 2pn +3p



Réponse : DM 1ère spé de liliebrt, postée le 28-11-2021 à 11:03:18 (S | E)
e)

((p+1)(2n+p))/2 = (p(2n+3p+1))/2

2pn +p^2+2n+p = 2pn + 3p^2+p

p^2+ 2n = 3p^2

n = p^2

les carrés ne s'affichaient pas, désolée



Réponse : DM 1ère spé de tiruxa, postée le 28-11-2021 à 11:03:23 (S | E)
Attention des erreurs sur la fin

((p+1)(2n+p))/2 = (p(2n+3p+1))/2

2pn +p²+2n+p = 2pn + 3p²+p


p² + 2n = 3p²



n = p²



Réponse : DM 1ère spé de tiruxa, postée le 28-11-2021 à 11:06:22 (S | E)
Pour le 3)
Il y a p+1 termes à gauche donc p+1-2 soit p-1 à droite
Donc
n+(n+1)+...+(n+p) = (n+p+1)+...(n+2p-1) soit un de moins que dans le 2)



Réponse : DM 1ère spé de liliebrt, postée le 28-11-2021 à 11:47:19 (S | E)
2f)

16+17+18+19+20=21+22+23+24+25
p=4, n=16, k=8


25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35
p=5, n=25, k=10


3)
a) Il y a (p+1) termes à gauche donc (p-1) termes à droite.
k=2p-1

(n+p+1)+...+(n+2p-1)
= ((n+p+1+n+2p-1)(p-1))/2
=((2n+3p)(p-1))/2


((p+1)(2n+p))/2=((2n+3p)(p-1))/2

après avoir développé et réduit, j'obtiens bien :
n=(p(p-2))/2

b) p=4,
k=2*4-1=7
n=(4(4-2))/2=4

4+5+6+7+8=9+10+11

p=6
k=11
n=12

12+13+14+15+16+17+18=19+20+21+22+23

pour le c) : Justifier qu'une telle égalité ne peut avoir lieu qu'avec un nombre impair de termes de chaque coté du signe d'égalité. Je ne sais pas du tout comment faire...



Réponse : DM 1ère spé de tiruxa, postée le 28-11-2021 à 11:57:54 (S | E)
C'est bien
Juste une étourderie dans
2f)
16+17+18+19+20=21+22+23+24+25
Il y a un terme de trop à droite

Pour la dernière question p et p-2 sont de même parité
S'ils sont impairs p(p-2) est impair et n'est pas divisible par 2 donc p(p-2)/2 n'est pas entier c'est impossible, donc p est pair... il est facile de conclure.



Réponse : DM 1ère spé de liliebrt, postée le 28-11-2021 à 12:42:09 (S | E)
Merci beaucoup !!!

Excusez-moi de vous déranger à nouveau, mais il y a un deuxième exercice à mon DM. Je pense avoir les réponses mais je voudrais savoir s'il existe une explication "mathématique" à la deuxième partie de la question.

Gérard possède un chandelier sur lequel il peut placer n bougies, toutes identiques. Chaque bougies se consume en 7 heures. Le premier dimanche, il prévoit de brûler une bougie pendant une heure. Le deuxième dimanche, deux bougies bien choisies pendant une heure; le troisième dimanche, trois bougies bien choisies pendant une heure, etc... Le n-ième dimanche, il brulera n bougies pendant une heure, les bougies seront alors toutes consumée entièrement.
Gérard se demande combien de bougies il doit acheter et comment il doit procéder.


Les bougies peuvent bruler pendant 7n heures.

donc 1+2+3+...+n = (n(n+1))/2 = 7n

(n(n+1))/2 = 7n
(n+1)/2 = 7
n+1 = 14
n=13

Il devra acheter 13 bougies.

Il devra suivre le schéma suivant, ABCDEFGHIJKLM sont le nom des bougies :

1. A
2. AB
3.ABC
4. ABCD
5. ABCDE
6. ABCDEF
7. GHIJKLM
8.GHIJKLMF
9.GHIJKLMFE
10. GHIJKLMFED
11. GHIJKLMFEDC
12. GHIJKLMFEDCB
13. GHIJKLMFEDCBA

Il brule une bougie le premier jour et en rajoute une jusqu'au sixième jour. Au septième, il prends 7 bougies neuves, et en rajoute une jusqu'au 13e jour, de la moins utilisée à la plus utilisée.



Réponse : DM 1ère spé de tiruxa, postée le 28-11-2021 à 15:31:32 (S | E)
Pour moi c'est bon.



Réponse : DM 1ère spé de liliebrt, postée le 28-11-2021 à 16:32:08 (S | E)
D’accord.

Merci beaucoup !

Bonne fin de journée




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