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Médianes triangle dm

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Médianes triangle dm
Message de liliebrt posté le 06-10-2021 à 21:53:52 (S | E | F)

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon dm. 

Voici l'énoncé :

Dans un triangle, on appelle médiane issue d'un sommet la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

Propriété : les médianes d'un triangle sont concourantes.

A noter que le point de concours des médianes est le centre de gravité du triangle.

On considère le triangle ABC avec A(2;8), B(-4;-2) et C(6,-2). On fera une figure soignée que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

1) Calculez les coordonnées de A', B' et C' milieux des segments [BC], [AC) et [AB]

2) Déterminez les équations des trois médianes du triangle.

3) Vérifiez que la propriété donnée plus haut est correcte. 

ATTENTION : ce que vous venez de faire permet de vérifier que la propriété est vraie SUR CET EXEMPLE PRECIS, ce n'est pas une démonstration qui permettrait de conclure que la propriété est toujours vraie.

Héron d'Alexandrie a établi la formule suivante : Aire = √p(p-a)(p-b)(p-c) où a, b et c sont les longueurs des trois côtés du triangle, et p le demi-périmètre.

4) Calculez les longueurs des trois côtés du triangle (a-BC, b-AC et c-AB) 5) Calculez l'aire du triangle ABC grâce à la formule de Héron d'Alexandrie.

Soit le point H de coordonnées H(2;-2). 6) Justifiez que H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

7) Calculez à nouveau l'aire du triangle ABC et vérifiez que le résultat obtenu est identique à celui trouvé au 2)

A la question 1) j'ai trouvé A'(1;-2) B'(4;3) et C'(-1;3) si je ne me suis pas trompée. 

Et à la 2) j'ai cherché l'équation réduite des droites (AA') y=4/7x+48/7

(BB') y=5/8x+1/2 

et (CC') y=-3x-8

Je pense que j'ai faux, et je ne comprends pas la suite...

Merci d'avance pour l'aide 


-------------------
Modifié par liliebrt le 06-10-2021 21:54




Réponse : Médianes triangle dm de wab51, postée le 06-10-2021 à 23:15:29 (S | E)
Bonsoir
A'(1;-2) B'(4;3) et C'(-1;3) si je ne me suis pas trompée. (oui-réponse juste)

Et à la 2) j'ai cherché l'équation réduite des droites (AA') y=(4/7)x+48/7 (malheureusement réponse fausse- c'est une droite qui passe par A(2,8) mais pas par A'(1,-2) car les coordonnées de A' ne vérifient pas l'équation.

(BB') y=5/8)x+1/2 (oui-réponse exacte)

et (CC') y=-3x-8 (réponse fausse .C'est une droite qui ne passe ni par C(6,-2) ni par C'(-1,3) car les coordonnées de C et de C' ne vérifient pas cette équation)

Vous avez donné les résultats de ses équations sans nous dire ou montrer comment vous avez fait. Puisque vous avez déjà trouvé une équation juste celle de (BB') :y=(5/8)x+1/2 (n'oubliez pas de mettre les parenthèses sinon c'est considéré comme faux) ,il suffit simplement d'appliquer le meme raisonnement pour les deux autres (AA') et(CC') et mieux nous montrer votre processus de calcul pour d'éventuelles corrections ou erreurs de calcul .
Je vous laisse donc faire en attendant vos nouvelles réponses .Bon courage


-------------------
Modifié par wab51 le 06-10-2021 23:16





Réponse : Médianes triangle dm de wab51, postée le 06-10-2021 à 23:56:39 (S | E)

Je me permets d'apporter une correction dans la Q-4) 

C'est avec un signe égal = et non un signe moins - dans (a=BC, b=AC , c=AB)

Vous pouvez encore vérifier votre figure géométrique et elle pourrait vous aider dans votre raisonnement ,là voici  

 Bon courage





Réponse : Médianes triangle dm de liliebrt, postée le 07-10-2021 à 08:14:52 (S | E)
Bonjour,
Merci pour la vérification et la précision apportée à la question 4. Je réessayerai ce soir



Réponse : Médianes triangle dm de wab51, postée le 07-10-2021 à 14:41:51 (S | E)
O.K. Pas de pb, avec plaisir et à ce soir! Bon courage .



Réponse : Médianes triangle dm de liliebrt, postée le 08-10-2021 à 18:17:06 (S | E)

 

Bonjour, j'ai vérifié mes calculs pour les équations de droites et j'avais inversé certaines valeurs donc j'ai recommencé.

2)

Pour (AA') 

coefficient directeur m

m=(yA'-yA)/(xA'-xA) = (-2-8)/(1-2)= 10

y=mx+p

sachant que A appartient à (AA') on a

yA=10xA + p

8=10*2+p

8=20+p <=> p=-12

L'équation de la médiane (AA') est y=10x-12

 

Pour (BB') y=(5/8)x+1/2

Pour (CC') y=(-5/8)x+16/7

 

3) Pour savoir si les médianes du triangle ABC sont concourantes, je calcule les coordonées du point M d'intersection entre (AA') et (BB')

Sachant que (AA') y=10x-12 et (BB') y=(5/8)x+1/2

Avec y=y on a :

10x-12=(5/8)x+1/2

<=> 10x-(5/8)x=1/2+12

<=> (80/8)x-(5/8)x=12,5

<=> (75/8)x=12,5  

<=> x=12,5/(75/8) = 12,5/1*(8/75) = 100/75 = 4/3

yM=4/3

(AA') y=10x-12

y=10*(4/3)-12

y=4/3

verification avec l'équation de (BB')

y=(5/8)x+1/2

y=(5/8)*(4/3)+1/2

y=4/3 OK

 

M(4/3 ; 4/3)

 

(CC') y=(-5/8)x+16/7

4/3=(-5/8)*(4/3)+16/7 donc M appartient à (CC') 

M appartient aux trois médianes (AA'), (BB') et (CC') donc elles sont concourantes. 

 

4)

a=BC=√(xC-xB)^2+(yC-yB)^2

= √(6+4)^2+(-2+2)^2

=√10^2+0^2 = √100 = 10

a=10

si je ne me suis pas trompée on obtient de la même manière b=AC=√116=2√29  et c=AB=√136=2√34

 

5) Pour cette question je pense être à completement à coté de la plaque mais mon résultat est cohérent avec la q7 donc je ne sais pas si c'est un coup de chance ou si j'ai bien fait ce qu'il fallait faire.

p=(a+b+c)/2 = (10+2√29+2√34)/2 = 5+√29+√34

Aire = √(5+√29+√34)(5+√29+√34-10)(5+√29+√34-2√29)(5+√34+√29-2√34)

=√(5+√29+√34)(-5+√29+√34)(5-√29+√34)(5+√29-√34)

Aire = 50 unités^2 (tapé à la calculatrice)

 

6) Je ne sais pas du tout comment prouver que H est le pied de la hauteur issue de A

 

7) Sur l'énoncé il est écrit de vérifier qur le résultat obtenu est identique à celui trouvé au 2) mais je pense que c'est plutôt le résultat du 5), sinon je ne trouve pas cela très cohérent.

 Aire triangle = (base*hauteur)/2

hauteur AH=√(xH-xA)^2+(yH-yA)^2

        =√(2-2)^2+(-2-8)^2 = √0^2+(-10)^2 = √100 = 10 

base = BC = 10

Aire triangle = (base*hauteur)/2

  =(10*10)2 = 100/2 = 50 unités carré

 

J'espère que ne ne me suis pas trompée en recopiant mes calculs et résultats.

Je vous remercie infiniment de prendre le temps de me répondre





Réponse : Médianes triangle dm de liliebrt, postée le 08-10-2021 à 18:53:28 (S | E)

Pour le 6) il faut que je vérifie que (AH) est perpendiculaire à (BC) grâce au théorème de Pythagore ?

 

Soit le triangle ABH.

Si AB^2=AH^2+BH^2 alors ABC est un triangle rectangle. 

 

AB=√136   AB^2=136

AH=10    AH^2=100

BH=√(xH-xB)^2+(yH-yB)^2

    =√(2+4)^2+(-2+2)

    =√6^2+0^2

BH=√36=6        et BH^2=6^2=36

[AB] est le plus grand coté 

AB^2=136

et AH^2+BH^2=100+36=136

donc AB^2=AH^2+BH^2

donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABH est rectangle en H.

 

(AH) est perpendiculaire à (BH) en passant par A donc H est le pied de la hauteur issue de A.

 

Voilà, cette fois ci j'ai écrit mes calculs donc ça sera plus facile de comprendre où sont mes erreurs ;)





Réponse : Médianes triangle dm de wab51, postée le 08-10-2021 à 19:50:35 (S | E)
Tout d'abord mes félicitations pour tout ce que tu viens de faire .
Quelques corrections :
Q-2)Pour (CC') y=(-5/8)x+16/7 (surement une erreur due à une erreur de frappey=(-5/7)x+16/7
Q-3) yM=4/3 (X_M=abscisse de M)
(AA') y=10x-12
y=10*(4/3)-12
y_M=4/3
M(4/3 ; 4/3)
(CC') y=(-5/8)x+16/7 y=(-5/7)x+16/7
<s>4/3=(-5/8)*(4/3)+16/7 donc M appartient à (CC')</s> .Il s'agit d'une vérification et par conséquent on commence par calculer le second membre en remplaçant x=4/3 dans l'équation y=(-5/7)x+16/7=(-5/7)(4/3)+16/7=28/21=4/3
Q-4)Oui-calculs parfaits et les trois longueurs sont exactes
Q-5)L'aire est exacte mais le calcul doit être fait à la main et non par la calculatrice .Il y'a une méthode pour développer ses calculs, je vous la montrerai à part et par la suite dans un nouveau message.
Q-6)Oui en appliquant le th. réciproque de Pythagore mais il fallait d'abord montrer que le point H(2,-2) appartient à la droite (BC) autrement dit les points B,H et C sont alignés.
Je pense qu'il y a une autre méthode plus simple et facile en utilisant la propriété du produit scalaire de deux vecteurs xx'+yy'=0?

Q-7)J'avais eu la meme objection ,je suis de votre avis.Mais l'essentiel est très bien fait ,tu as parfaitement répondu à la question posée..Pour la méthode de développement des calculs de la Q-5 ,dans mon prochain message .Félicitations



Réponse : Médianes triangle dm de wab51, postée le 08-10-2021 à 20:45:32 (S | E)
Q-5)Calcul de l'aire S du triangle ABC à partir de la formule de Heron d'Alexandrie .
Tu es arrivée déjà à ce dernier résultat : S=√(5+√29+√34)(-5+√29+√34)(5-√29+√34)(5+√29-√34) .Il suffit de penser de réajuster l'ordre de certains termes de manière à faire apparaître l'identité remarquable (A+B)(A-B)=A²-B²
S=√(√29+√34+5)(√29+√34-5)(5+(√34-√29)(5-(√34-√29)
S=√(√29+√34)²-5²)(5²-(√34-√29)²) (sachant aussi que (a+b)²=a²+2ab+b² e (a-b)²=a²-2ab+b² )
S=√(29+34+2√29√34-25)(25-34-29+2√29√34)
S=√(2√29√34+38)(2√29√34-38)
S=√(2√29√34)²-(38)²
S=√(4*29*34-38²)
S=√(3944-1444)
S=√2500
S=√50²
S=50 unités d'aire.



Réponse : Médianes triangle dm de wab51, postée le 08-10-2021 à 20:52:34 (S | E)
Encore une petite suggestion
On peut passer à calculer S² au lieu de S ,le raisonnement et les modes de calculs restent pratiquement identiques .C'est simplement pour éviter de trainer à chaque fois ce radical de la racine carré dans l'expression √.Voilà ,merci bien à toi .



Réponse : Médianes triangle dm de liliebrt, postée le 08-10-2021 à 21:19:23 (S | E)
Merci pour les corrections/suggestions.
Pour l'équation de droite (CC') c'est effectivement une faute de frappe, et comme j'ai copié-collé à chaque fois cette erreur se retrouve partout...
Pour la Q6, je ne pense pas avoir déjà étudié le produit scalaire, en tout cas le nom ne me dit rien.
Et pour la q5 je n'avais pas vu l'identité remarquable, et je ne savais donc pas comment calculer alors merci beaucoup !
Bonne soirée, et merci encore



Réponse : Médianes triangle dm de wab51, postée le 09-10-2021 à 15:48:39 (S | E)
Bonjour
Je voulais revenir sur la Q-6):Justifier que H(2,-2) est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC?
pour dire qu'on peut encore répondre à cette question par une autre méthode simple ,facile et rapide (méthode usuelle classique).
En effet, même s'il n'est pas dit dans l'énoncé que le plan étant muni d'un repère orthonormé (O,i,j) ,il ne peut être considéré impérativement que comme un repère orthonormé. Cette condition étant remplie (O,i,j) orthonormé
1) sachant aussi que l'ensemble des points M dont l'abscisse est fixe (égale à x_M) est la droite parallèle à la droite des ordonnées (yy') et d'équation x=x_M .
Etant donné donc que les deux points A(2,8) et H(2,-2) ont la même abscisse fixe x_A=x_H=2 ,la droite (AH)//(yy') et d'équation x=2
2) de même ,sachant aussi que l'ensemble des points M dont l'ordonnée est fixe (égale à y_M) est la droite parallèle à la droite des abscisses (xx') et d'équation y=y_M .
Etant donné donc que les points B(-4,-2),H(2,-2) et C(6,-2)ont la même ordonnée fixe y_B=y)H=y_C=-2,la droite
(BC)//((xx') et d'équation y=-2
3) on en déduit des précédentes résultats (BC)//((xx') et(AH)//(yy') et de plus (xx')⊥(yy') que (AH)⊥(BC) au point H(2,-2) pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC .



Réponse : Médianes triangle dm de wab51, postée le 09-10-2021 à 15:54:33 (S | E)
.Félicitations . Excellente réussite dans toutes vos études .




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