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Inégalité de Bienaymé

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Inégalité de Bienaymé
Message de kadfr posté le 07-09-2021 à 19:16:29 (S | E | F)
Bonjour,
Aux urgences d’un hôpital lors d’une épidémie, le nombre de malades qui arrivent chaque jour est donné par la variable aléatoire X d’espérance 72 et de variance 9.
1°) Donner une majoration de P(∣X−72∣≥18) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.
2°) Donner une minoration de la probabilité que le nombre de malades soit strictement compris entre 51 et 93.

1°) P(IX-72I>=18)<=9/(18²) = 1/36
Donc P(IX-72I>=18) est majorée par 1/36

2°) ( 93+51)/2=72
L’écart est de 21
P(IX-72I<=21)>=1-9/(21²)
Donc P(IX-72I<21) est minorée par 48/49

Est ce correct ? Surtout le 2°)

Merci d’avance.


Réponse : Inégalité de Bienaymé de tiruxa, postée le 08-09-2021 à 15:31:31 (S | E)
Bonjour

Oui c'est correct.

Dans le 2 on peut toutefois expliquer davantage : 51<X<93 <=> |X-72|<21
D'après l'inégalité on a
p(|X-72|>21)<=9/21²
donc
-p(|X-72|>21)>=-9/21²
donc
1-p(|X-72|>21)>=1-9/21²
donc
p(|X-72|<21)>=48/49
d'où la conclusion



Réponse : Inégalité de Bienaymé de kadfr, postée le 09-09-2021 à 17:04:22 (S | E)
Merci tiruxa,
Oui, pour le 2°) j'ai appliqué carrément la formule de la minoration.
J'aimerai comprendre tes détails:

p(|X-72|>21)<=9/21² on a appliqué l'inégalité de Bienaymé...

donc
-p(|X-72|>21)>=-9/21²: On a multiplié des deux côtés par -1

donc
1-p(|X-72|>21)>=1-9/21²: On a ajouté 1 des deux côtés.

donc
p(|X-72|<21)>=48/49: mais ou' est passé le "1-" ci dessus dans le premier membre ?



Réponse : Inégalité de Bienaymé de tiruxa, postée le 09-09-2021 à 21:19:57 (S | E)
En fait c'est la proba de A barre (complémentaire de A) qui est égale à 1-p(A)

Or le complémentaitre (ou contraire) de |X-72|>=21 est |X-72|<21 (je me rends compte que dans mon post précédent j'ai manqué de rigueur sur les inégalités)

Donc 1-p(|X-72|>=21) = p(|X-72|<21)

Donc si je reprends mon post en étant plus rigoureux sur les inégalités cela donne :

D'après l'inégalité on a
p(|X-72|>=21)<=9/21²
donc
-p(|X-72|>=21)>=-9/21²
donc
1-p(|X-72|>=21)>=1-9/21²
donc
p(|X-72|<21)>=48/49



Réponse : Inégalité de Bienaymé de kadfr, postée le 10-09-2021 à 17:29:15 (S | E)
Merci, j'ai tout compris.

Est ce que les professeurs exigent ces détails ou bien on peut utiliser l'inégalité toute faite de la minoration ?



Réponse : Inégalité de Bienaymé de tiruxa, postée le 10-09-2021 à 23:14:21 (S | E)
Cela dépend des résultats donnés dans le cours bien sûr...

Mais c'est bon de savoir le faire ainsi




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