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Nombres premiers naturels consécutifs

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Nombres premiers naturels consécutifs
Message de dacu posté le 28-06-2021 à 17:35:01 (S | E | F)

Bonne soirée à tous,

Quelle est la limite de la différence entre deux nombres premiers naturels ?

Cordialement,

Dacu

 

 




Réponse : Nombres premiers naturels consécutifs de tiruxa, postée le 29-06-2021 à 15:20:00 (S | E)
Bonjour

Cette différence peut être aussi grande que voulu, donc elle a pour limite +infini.

En effet
Soit n un entier et soit n! qui est le produit n(n-1)(n-2)....3*2

n!+2 est divisible par 2 (car on peut mettre 2 en facteur commun)
n!+3 est divisible par 3 (car on peut mettre 3 en facteur commun)
........................
n!+n-1 est divisible par n-1 (car on peut mettre n-1 en facteur commun)
n!+n est divisible par n (car on peut mettre n en facteur commun)

On a donc n-1 nombres consécutifs qui ne sont pas premiers, donc l'écart entre deux nombres premiers est supérieur ou égal à n.

Comme n peut être choisi aussi grand que voulu c'est écart tend vers +infini.



Réponse : Nombres premiers naturels consécutifs de dacu, postée le 30-06-2021 à 07:43:09 (S | E)
Bonjour "tiruxa",

Je connaissais cette observation depuis longtemps... Peut-être que ma question initiale n'était pas claire... Quelle est la limite de la différence entre deux nombres premiers naturels consécutifs?
Soit p_n<p_(n + 1) deux nombres premiers naturels consécutifs, alors quelle est la limite supérieure de D = p_ (n + 1) -p_n?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu



Réponse : Nombres premiers naturels consécutifs de tiruxa, postée le 30-06-2021 à 11:03:43 (S | E)
Ok mais je ne vois aucune différence !

Puisqu'on peut trouver n-1 nombres "non premiers" consécutifs, si on les note les a1, a2,..., a(n*1) (rangés par ordre croissant)

Soit p le plus grand des nombres premiers inférieurs à a1 et p' le plus petit des nombres premiers supérieurs à a(n-1).

p et p' sont deux entiers premiers consécutifs et p'-p >= n.

Comme n peut être choisi aussi grand que voulu, cette différence a pour limite +infini.



Réponse : Nombres premiers naturels consécutifs de dacu, postée le 01-07-2021 à 06:11:41 (S | E)
Bonjour,

D'après le postulat de Bertrand on peut écrire que p_n<p_ (n + 1)<2p_n et donc D=p_(n+1)-p_n<p_n.Si la conjecture d'Andrica
D_1=sqrt(p_(n+1))-sqrt(p_n)<1 serait vraie, alors comment pourrions-nous trouver une valeur de L_s à partir de l'inégalité
D=p_(n + 1)-p_n<L_s<p_n?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu




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