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Dm produit scalaire terminale

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Dm produit scalaire terminale
Message de bastoune66 posté le 27-02-2021 à 00:07:22 (S | E | F)
Bonsoir,
Voilà mon DM de maths dont je n'ai rien compris à l'exercice 2.

On se place dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗ ; 𝑘⃗) de l’espace et on considère les cinq points :
𝐴 (1 ; 1 ; 4) 𝐵 (4 ; 2 ; 5) 𝐶 (3 ; 0 ; −2) 𝐼 (1 ; 9 ; 0) 𝐽 (1 ; 4 ; 2)
On note :
𝒫 le plan passant par les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶
𝒟 la droite passant par le point 𝐽 et de vecteur directeur 𝑢⃗ (1;1;3)
𝒮 la sphère* de de centre 𝐼 et de rayon 6
*On rappelle que la sphère de centre Ω et de rayon 𝑟 > 0 désigne l’ensemble des points 𝑀 de l’espace
tels que Ω𝑀 = 𝑟

Questions :
<u>1) Position relative de 𝒟 et 𝒫</u>
a) Justifier que le vecteur 𝑛⃗ (1;−4;1) est normal au plan 𝒫
b) Déterminer une équation cartésienne du plan 𝒫
c) Calculer 𝑛⃗ . 𝑢⃗, puis en déduire la position relative de 𝒟 et 𝒫

<u>2) Position relative de 𝒫 et 𝒮</u>
a) Montrer que la droite Δ passant par 𝐼 et orthogonale au plan 𝒫 coupe ce plan au point 𝐻 (3 ; 1 ; 2)
b) Calculer la distance 𝐼𝐻 (on donnera la valeur exacte sous la forme la plus simple possible)
c) Justifier que pour tout point 𝑀 du plan 𝒫 on a 𝐼𝑀 ≥ 𝐼𝐻
d) Le plan 𝒫 coupe-t-il la sphère 𝒮 ? Justifier

<u>3) Position relative de 𝒟 et 𝒮</u>
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite 𝒟
b) Déterminer les coordonnées du point 𝐾 projeté orthogonal de 𝐼 sur la droite 𝒟
c) Montrer que la droite 𝒟 coupe la sphère 𝒮 en deux points distincts (dont on ne cherchera pas à
déterminer les coordonnées)

Merci d'avance
Bonne soirée


Réponse : Dm produit scalaire terminale de roseodile, postée le 27-02-2021 à 09:09:41 (S | E)
Bonjour, quelques indications rapides pour traiter la question 1
Le plan 𝒫 est déterminé par les trois points A, B et C , on calcule les coordonnées de vec (AB) et de vec(AC), on calcule ensuite le produit scalaire de chacun de ces vecteurs avec le vecteur 𝑛⃗ (1;−4;1). Ne pas oublier qu'un produit scalaire nul montre l'orthogonalité de deux vecteurs.
La question suivante est une application direscte du cours, et peut se faire sans avoir fait la précédente.
Le produit scalaire 𝑛⃗ . 𝑢⃗ est nul (à justifier) Que peu-on en déduire ? Le point 𝐽 (1 ; 4 ; 2) est-il dans le plan 𝒫 ?
Pour la suite, j'attends de voir vos premières recherches.
Bonne journée.



Réponse : Dm produit scalaire terminale de bastoune66, postée le 27-02-2021 à 23:12:57 (S | E)
Bonsoir,
J’ai calculé les deux vecteur AB(3,1,1) et AC(2,-1,-6).
J’ai ensuite fait le produit scalaire ou AB est orthogonal mais AC ne l’est pas je trouve 4 est-ce normal ?
J’ai donc fait la b, est j’ai trouvé x-4y+z-1=0
Pour la c, j’ai calculé n.u qui est nul. Les deux vecteurs sont orthogonaux. Par contre j’ai remplacé les coordonnées de J dans mon équation cartésienne du plan et je trouve -14 donc je pense que J n’est pas dans le plan de P.
Dites moi si c’est ça
J’attends vos indications pour la question 2.
Bonne soirée



Réponse : Dm produit scalaire terminale de tiruxa, postée le 28-02-2021 à 11:39:18 (S | E)
Bonjour,

Tu t'es trompé dans le produit scalaire des vecteurs Ac et n.
Il faut trouver 0, recherche ton erreur.

Le reste est juste.

Pour le 2)a) il suffit de justifier que le vecteur IH est normal au plan P c'est à dire colinéaire à n.

le b) est facile
Pour le c) voir que l'on a un triangle rectangle
pour le d) se poser cette question : Peut on trouver un point M du plan qui soit sur S c'est à dire tel que IM=6 ?



Réponse : Dm produit scalaire terminale de bastoune66, postée le 28-02-2021 à 15:41:20 (S | E)
Merci,
J'ai bien corrigé mon erreur j'ai bien trouvé mon erreur avec AC.n
je trouve que D et P sont sécant pour la 1)c
Pour la 2)a j'ai fait le vecteur IH qui vaut (2;-8;2) c'est donc 2*n. Ils sont donc colinéaire donc le vecteur est normal au plan P et il est aussi orthogonal.
Pour la 2)b je trouve que IH = 6 racine de 2
Par contre pour la c et la d j'ai vraiment rien compris



Réponse : Dm produit scalaire terminale de tiruxa, postée le 28-02-2021 à 16:08:40 (S | E)
Attention il y a des erreurs ou des incorrections

"je trouve que D et P sont sécant pour la 1)c" C'est hélas faux !

Voir le cours ou faire simplement une figure avec un plan un vecteur normal à ce plan et une droite dont le vecteur directeur est orthogonal à ce vecteur normal... et lire la figure.
De plus Roseodile t'a demandé si J était dans le plan (P)... ceci a une importance pour la conclusion de 1c).

"le vecteur (IH donc) est normal au plan P "

et donc..... (Attention, il faut conclure pour la droite (Delta) c'est à dire la droite (IH))


"Pour la 2)b je trouve que IH = 6 racine de 2" Oui juste

"Par contre pour la c et la d j'ai vraiment rien compris"

Justifier que IMH est un triangle rectangle.... je ne peux pas aider plus sinon je finis la question.



Réponse : Dm produit scalaire terminale de bastoune66, postée le 28-02-2021 à 16:22:31 (S | E)
Pour la 1)c les point sont plutôt parallèles
Par contre pour la 2)a mes amis ont fait avec l'équation de la droite Δ, puis ils ont cherché le point d'intersection de la droite avec le plan.
Mais je ne vois pas comment faire j'ai essayé de faire un système et je trouve
t+1
-4t+9
t
après je ne sais pas quoi faire du moins je n'ai jamais compris



Réponse : Dm produit scalaire terminale de tiruxa, postée le 28-02-2021 à 17:34:46 (S | E)
Pour la 2a) il faut quand même justifier que H est dans le plan (P), (sinon on peut juste dire que (HI) est orthogonale à (P))

autre chose (au sujet de l'autre méthode) c'est bien plus rapide de procéder comme je disais plus haut (colinéarité de vecteur HI et vecteur n)

Pour la 1c) attention à ce que tu écris.... des points ne peuvent être parallèles !

C'est la droite qui est soit strictement parallèle au plan soit contenue dans ce plan
(pour savoir dans quel cas on se situe il faut voir si J est dans le plan)



Réponse : Dm produit scalaire terminale de bastoune66, postée le 28-02-2021 à 20:32:10 (S | E)
Ok donc pour la 1)c je mets quoi ?
Je mets que comme la droite est parallèle et que les vecteurs sont orthogonaux les points sont parallèles ?
Par contre je fais comment pour la 2)d ?



Réponse : Dm produit scalaire terminale de tiruxa, postée le 28-02-2021 à 21:42:03 (S | E)
Il faudrait surtout que tu cherches tes devoirs assez longtemps à l'avance pour pouvoir approfondir le cours... Là tu ne le maitrises pas du tout.

Là tu veux (voudrais) que je donne la réponse... mais le forum ne fonctionne pas ainsi et de plus cela ne te serait d'aucune utilité pour la suite de tes études...
J'ai donné suffisamment d'indices pour que tu trouves les réponses par toi même...

Relis mes réponses précédentes, tout y est dit.

Ps : je me répète, mais des points parallèles cela n'a pas de sens !!



Réponse : Dm produit scalaire terminale de bastoune66, postée le 28-02-2021 à 22:04:24 (S | E)
Non pas du tout.
Je peux concevoir que tu le vois comme ça mais c'est juste que mon prof à était cas contact est donc il nous a envoyé les cours mais j'ai rien compris et comme à distance c'est compliqué qu'il m'explique tu comprends.
Après il nous a donner un Dm sur ça pour la rentrée, est donc c'est très compliqué d'arrivé à le faire. J'ai fais l'exo 1 parce que c'était sur la leçon d'avant mais le 2 j'y arrive que à certaines questions



Réponse : Dm produit scalaire terminale de bastoune66, postée le 28-02-2021 à 22:12:38 (S | E)
Donc si tu trouvais un cours qui pourrait m'aider à répondre à la question 1)c et 3)a, b et c. Je suis preneur



Réponse : Dm produit scalaire terminale de tiruxa, postée le 01-03-2021 à 11:07:07 (S | E)
Bonjour

En voici un
Lien internet


A la page 7 la figure explique le cas où les vecteurs u et n sont orthogonaux soit le cas de la question 1c)



Réponse : Dm produit scalaire terminale de tiruxa, postée le 01-03-2021 à 11:31:46 (S | E)
Pour la 3a) c'est une question de cours classique.

Taper representation parametrique droite espace sur google si tu veux des exemples.

Pour la 3b) le point K est l'intersection de (D) et du plan passant par I orthogonal à (D) c'est à dire ayant pour vecteur normal le vecteur u. (système à résoudre)

Pour la 3c) la droite est sécante à la sphère si on trouve au moins un point de cette droite dont la distance au centre de la sphère est strictement inférieure au rayon. Etudier lepoint K.



Réponse : Dm produit scalaire terminale de bastoune66, postée le 01-03-2021 à 12:18:57 (S | E)
Merci c'est bon j'ai tout fini,
Et pour la 1)c c'est la droite et le plan qui sont parralèlles
Merci de ton aide
Bonne journée



Réponse : Dm produit scalaire terminale de tiruxa, postée le 01-03-2021 à 13:37:22 (S | E)
C'est bien mais parallèles pour la 1c) c'est un peu insuffisant, il faut préciser strictement parallèle ou bien contenue dans le plan (c'est le point J qui permet de le dire).



Réponse : Dm produit scalaire terminale de bastoune66, postée le 01-03-2021 à 23:56:00 (S | E)
D'accord, elles sont strictement parallèles J n'appartient pas au plan.
Bonne continuation




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