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1er spé - Démontrer que f est positive

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1er spé - Démontrer que f est positive
Message de ln924 posté le 17-02-2021 à 19:17:39 (S | E | F)
Bonjour, je bloque sur une question, pourtant qui m’a l’air simple, de mon DM.

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x^3 - x^2 - 8x + 12
Démontrer que f est positive sur [0 ; + infinie[

Je sais que f est positive si pour tous n’ombres de l’intervalle f(x) > ou égal à 0. Cependant je ne sais pas comment montrer que c’est bien les nombres qui sont compris dans cet intervalle.
J’ai essayé de faire l’équation :
f(x) > 0 où les solutions sont x1 = -3 ; x2 = 2
f’(x) > 0 donc 3x^2-2x-8 > 0 où les solutions sont x1 = -4/3 ; x2 = 2
et f(0) = 0 où le solution est x = 12

Je ne sais pas comment procéder, merci d’avance !


Réponse : 1er spé - Démontrer que f est positive de tiruxa, postée le 17-02-2021 à 20:04:54 (S | E)
Bonjour

Là le plus simple c'est de justifier que f(x)=(x+3)(x-2)² puis faire une étude de signe dans un tableau.

Mais dans une situation où les racines de f(x) sont moins "évidentes" on étudie le signe de la dérivée et à partir du tabeau de variation complet de f (ie : avec valeurs des extremums et limites aux bornes) on déduit son signe



Réponse : 1er spé - Démontrer que f est positive de ln924, postée le 17-02-2021 à 20:40:19 (S | E)
Tout d’abord merci pour votre réponse !
Cependant je n’ai pas tout à faire compris, j’ai déjà dû dans la question d’avant déterminer le tableau de variation de la fonction f donc j’ai dressé le tableau de signe de la dérivée de f puis dressé le tableau de variation de f. J’ai trouvé que f était croissant sur ]- l’infinie ; ((- racine carré de 23) + 1) / 3 ] et sur [ (( racine carré de 23) + 1) / 3 ; + l’infinie ] et décroissant sur [ ((- racine carré de 23) + 1) / 3 ; (( racine carré de 23) + 1) / 3 ]. Cependant je ne sais pas ce que sont les valeurs des extremums et limites aux bornes.



Réponse : 1er spé - Démontrer que f est positive de tiruxa, postée le 17-02-2021 à 23:16:44 (S | E)
Bon le tableau de variation est faux.

f' s'annule pour x=2 et x=-4/3, f' est négative entre ces deux racines et positive à l'extérieur.

f est donc décroissante sur [-4/3;2] et croissante sur [2;+inf[

D'après le tableau (corrigé) le minimum de f sur |0;+inf[ est f(2) qui vaut 0, donc f est positive sur cet intervalle



Réponse : 1er spé - Démontrer que f est positive de ln924, postée le 18-02-2021 à 19:23:29 (S | E)
Bonjour, désolé pour mon temps de réponse long. En effet j’ai bien pris le temps de refaire mes calculs et je trouve donc le bon tableau de variation de f’ avec f’ qui s’annule pour x= 2 et x= -4/3 . J’ai compris comment procéder maintenant grâce à votre merci. Merci beaucoup !




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