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Théorie des ensembles

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Théorie des ensembles
Message de libniz posté le 16-02-2021 à 20:34:07 (S | E | F)

Bonsoir à tous. S'il vous plait j'ai un problème sur cet exercice. J'aimerais avoir de l'aide.

 

Exercice:

Soit  un ensemble. Pour , on définit , et par récurrence pour .

1. Montrer que .

2. Montrer que si f est bijective, alors .

 

J'ai fait la première question par récurrence sur n, mais je n'arrive pas à faire la deuxième. Svp j'ai besoin d'aide. 

Merci d'avance.

 




Réponse : Théorie des ensembles de tiruxa, postée le 17-02-2021 à 10:34:21 (S | E)
Bonjour,

la récurrence fonctionne aussi pour la 2.

Il faut utiliser le résultat de la 1 et le fait que si f et g sont bijectives, (fog)^(-1) = g^(-1) o f^(-1)



Réponse : Théorie des ensembles de libniz, postée le 17-02-2021 à 17:01:07 (S | E)

       soit P(n) la proposition

     Montrons que P(n) est vraie

    Vérifions que P(0) est vraie

  ici il faut montrer que

  je sais que , car d'après l'énoncé de l'exercice, .

Mais comment montrer aussi que

    Montrons que ,

   Soit , Supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) vraie

  On a:

          

                               

 En utilisant le résultat de la 1 et le fait que si f et g sont bijectives, (fog)^(-1) = g^(-1) o f^(-1), je montre que

 Mais comment montrer que ?

Merci pour votre réponse



Réponse : Théorie des ensembles de tiruxa, postée le 17-02-2021 à 18:00:21 (S | E)
Bonjour,

Les notations données au début de l'énoncé sont valables pour tout f de F(X,X), f n'est pas un élément particulier, donc comme f^-1 est aussi élément de F(X,X) ces notations sont valables pour elle.

Donc (f^(-1))^0 =Id

et (f^(-1))^n o f^(-1) =(f^(-1))^(n+1)



Réponse : Théorie des ensembles de libniz, postée le 17-02-2021 à 22:01:50 (S | E)
Bonsoir.
Okay. C'est clair à présent pour moi. Je doutais pour aussi utiliser les formules du départ pour f^-1.
Merci beaucoup pour votre aide🙏




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