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Fonction logarithme

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Fonction logarithme
Message de nounous posté le 04-02-2021 à 15:25:11 (S | E | F)

Bonjour à tous. J'aimerais que vous puissiez m'assister lors de la résolution de cet exercice s'il vous plaît.

 

Soit f la fonction définie sur R



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 04-02-2021 à 16:49:19 (S | E)
Bonjour,

le 1°) est juste

Pour le 2°) il y a un problème d'ensemble de définition et ce problème existe aussi pour f, car f n'est pas définie en 0 (puisque 0 annule le dénminateur). Donc Df= R-{0;1}

Si on demande l'ensemble des primitives de f sur les intervalles de Df, il faut écrire ln|x| au lieu de lnx et ln|x-1| au lieu de ln(x-1).
En effet u'/u a pour primitive ln u sur les intervalles où u est strictement positive
et u'/u a pour primitive ln|u| sur les intervalles où u est non nulle.

Voilà tout dépend de la question posée



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 07-02-2021 à 19:18:26 (S | E)
Bonsoir.

Merci pour votre réponse et désolé pour l'attente.

Le résultat est donc
F(x)= X + ln|-1/x| + 3ln|x-1|.

Merci de vérifier.
Cordialement



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 07-02-2021 à 19:58:10 (S | E)
Bonjour

Hélas une grande partie de votre message initial a disparu, et comme j'ai oublié l'expression de f(x) je ne peux pas hélas confirmer votre réponse.



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 07-02-2021 à 20:18:30 (S | E)
Désolé.

Voici:

f(x)=(X²+X+1)/x(x-1)



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 07-02-2021 à 21:41:34 (S | E)
Ok

Donc f(x)=1 - 1/x + 3/(x-1)

et F(x)= x - ln|x| + 3 ln|x-1| +k avec k constante réelle.

Bien sûr -ln |x| pourrait s'écrire aussi ln(1/|x|) mais cela se simplifie pas le résultat...



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 07-02-2021 à 22:04:08 (S | E)
Merci. Beaucoup j'ai maintenant compris



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 07-02-2021 à 22:29:30 (S | E)
2)

Soit g(x)=X+ln||(x-1)/x| définie sur R vers R

a) étude des variations de g

Faut-il dabord trouvé la dérivee ou Dg?
Merci de m'eclairer



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 07-02-2021 à 23:05:41 (S | E)
Dg en premier mais avant de dériver transformez le logarithme.



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 08-02-2021 à 16:04:23 (S | E)
Bonsoir. Merci pour votre réponse.
Je trouve

Dg=]1;+inf[ ensemble de définition.

Pour la derivee.
g'(x)=1+ln|1-1/x|

Merci de vérifier



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 08-02-2021 à 17:06:21 (S | E)
Bonjour,

Non cela ne va pas du tout!

Je vous donne des indications

Ensemble de défnition de g :
g(x)=ln|u(x)| où u(x)=(x-1)/x , u est définie sur R*.

g(x) est défini si et seulement si u(x) est définie et u(x) non nul (en effet la valeur absolue est positive il suffit donc d'éviter la valeur 0 de u(x) pour pouvoir calculer ln|u|)

Dérivée de g

Rappel : (ln|u|)'= u'/u

Dans la dérivée il n'y a donc pas de fonction ln



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 09-02-2021 à 17:01:47 (S | E)
Bonsoir. Merci pour votre réponse

Pour tout calcul effectué je trouve
Dg= R-{0,1} Merci de verifier

-------------------
Modifié par nounous le 09-02-2021 17:03





Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 09-02-2021 à 17:24:19 (S | E)
Pour la derivée je trouve:

g'(x)= 1+1/(x²-x)



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 09-02-2021 à 18:24:18 (S | E)
Tres bien c'est tout juste.



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 11-02-2021 à 15:36:20 (S | E)
Bonjour. Merci

Concernant les variations.

j'ai d'abord trouvé les racines de g'(x).
Puis j'ai dresser le tableau de signe et
Il en ressort que

Pour X de ]-inf;0[u]1;+inf[ g'(x)>0 donc strictement croissante

Pour x de ]0;1[ g'(x) <0 donc strictement décroissante

Merci de vérifier



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 11-02-2021 à 17:17:17 (S | E)
Bonjour

Oui c'est juste mais on écrit plutôt ainsi :

Pour X de ]-inf;0[u]1;+inf[ g'(x)>0 donc g strictement croissante sur chacun de ces deux intervalles

De même pour l'autre intervalle ]0;1[



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 11-02-2021 à 17:32:33 (S | E)
Merci.

Pourquoi ferme t-on l'intervalle sachant que dans la fonction g cet intervalle represente la contrainte. Et 0 et 1 ne doivent pas être inclus plus qu'on les a privés de Dg ...
Merci de m'eclairer .



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 11-02-2021 à 17:39:20 (S | E)
Je viens également de remarquer qu'il me faut trouver les limites aux bornes de dg pour remplire le tableau de variation. Étant donné que g'(x) est une dérivee de g(x), ne peut-on également passer par calculer les limites aux bornes de g'(x) ? En prenant bien-sûr dg trouvé qu'on calculera les limites plutôt à g'(x).

Merci de m'enlever des confusions



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 11-02-2021 à 18:58:30 (S | E)
Désolé pour mes crochets qui étaient inversés, effectivement ils sont ouverts (j'ai corrigé)

Pour les limites ce sont uniquement celles de la fonction g, aucun rapport avec g'.



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 02-03-2021 à 17:52:09 (S | E)
Bonsoir. J'excuse pour le retard.

J'aimerais savoir si les limites devront être calculées aussi en 0 et 1 tandis qu'ils ne doivent pas être inclus dans Dg. Et je ne sais pas comment procéder sur les limites. Cest très complexe.
Merci de m'expliquer



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 02-03-2021 à 18:19:58 (S | E)
Bonjour,

Oui il faut déterminer les limites en 0 et en 1 qui sont des bornes de l'ensemble de définition.

C'est justement parce que la fonction n'est pas définie en 0 ni en 1 que l'on s'intéresse au comportement de g(x) quand x se rapproche autant que l'on veut de ces valeurs interdites.

La difficulté c'est que l'on a une fonction composée, il faut bien avoir compris le principe...

Voici un exemple

f(x)=ln(2+1/x)

F est la composée de la fonction u telle que u(x)=2+1/x suivie de la fonction ln, on écrit f=ln(u) ou f=ln o u

Cherchons la limite de f en +inf
La limite de u en +inf est égale à 2, la limite de ln en 2 est ln2 donc la limite de f en +inf est ln2

Cas plus général limite de f en a
Si limite de u en a est égale à b et limite de ln en b est égale à c alors limite de f en a est égale à c



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 02-03-2021 à 19:37:53 (S | E)
Merci. À vous.

Voici les resultas des limites

lim g(x)=ln0
x-->0

lim g(x)=1
x-->1



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 02-03-2021 à 21:30:27 (S | E)
Helas c'est faux !

En plus, 0 n'a pas de log.

Detaillez les calculs je les corrigerai



Réponse : Fonction logarithme de nounous, postée le 02-03-2021 à 22:40:15 (S | E)
OK.

Limites en 0

Limite lorsque x tend vers 0 de x est 0

Limite lorsque x tend vers 0 de x-1/x est 0
et limite lorsque x tend vers 0 de ln0 est impossible

Par somme lim lorsque x tend vers 0 de g(x) est 0.

Limites en 1


Limite lorsque x tend vers 1 de x est 1

Limite lorsque x tend vers 1 de x-1/x est 1
et limite lorsque x tend vers 1 de ln1 est 0

Par somme lim lorsque x tend vers 1 de g(x) est 1



Réponse : Fonction logarithme de tiruxa, postée le 03-03-2021 à 10:03:05 (S | E)
Bon il faut en effet travailler les limites (ici la limite d'un quotient de deux fonctions)

Voir un rappel des règles ici :Lien internet


On a la fonction u telle que u(x)=|(x-1)/x|=|x-1|/|x|

Cherchons la limite en 0

Le numérateur a pour limite 1
le dénominateur a pour limite 0 et il est strictement positif

Le tableau récapitulatif du lien ci dessus nous donne + ou - infini (dernière colonne)

Le signe étant donné par la règle des signes, donc lim u en 0 est + infini.

Ensuite on passe à la deuxième fonction (ici ln) la limite de ln en + infini est + infini

Donc lim lnu en 0 est + infini et lim g en 0 est +infini

Faire la même chose en 1

Attention toutefois la limite de ln en 0 est - infini (il suffit de représenter la fonction ln pour s'en souvenir)




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