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Etude de suites

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Etude de suites
Message de maskhonit posté le 20-01-2021 à 13:54:17 (S | E | F)
Bonjour,
Je suis bloqué sur cet exercice pourriez vous m’aider s’il vous plaît ?

Voici le sujet:
Etude des suites récurrentes d’ordre 2.
(𝑢𝑛) est la suite définie par 𝑢0 = 4, 𝑢1 = 14 et pour tout entier naturel 𝑛 par la relation (1) : 𝒖𝒏+𝟐 = 𝟔𝒖𝒏+𝟏 − 𝟖𝒖𝒏.
a) Calculer les termes 𝑢2, 𝑢3, 𝑢4 𝑒𝑡 𝑢5.
b) Démontrer qu’il existe exactement deux suites géométriques du type (𝑟^𝑛) satisfaisant à la relation (1) avec 𝑟 ≠ 0.
On note 𝑟1 et 𝑟2 les raisons de ces suites avec 𝑟1 < 𝑟2.
c) En utilisant les valeurs 𝑟1 et 𝑟2 obtenues, vérifier que quels que soient les réels A et B, la suite définie sur ℕ par 𝑣𝑛 = 𝐴𝑟1^𝑛 + 𝐵𝑟2^𝑛
satisfait à la relation (1).
d) Déterminer les réels A et B pour que la suite (𝑣𝑛) vérifie les conditions initiales 𝑣0 = 4 𝑒𝑡 𝑣1 = 14.
e) On admet qu’il existe une seule suite vérifiant (1) et les conditions initiales données ; dans ces conditions,
pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛.
A l’aide de l’expressions de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛, déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛).

Pour la j'ai trouvé 𝑢2=52, 𝑢3=200, 𝑢4=784 et 𝑢5=3104
Je bloque à partir de la question b)

Merci d'avance pour votre aide


Réponse : Etude de suites de tiruxa, postée le 20-01-2021 à 14:40:39 (S | E)
Bonjour

Hélas la plupart des données sont illisibles, mais je peux donner des indices pour le b)

Dans la relation il doit y avoir u(n+2) ,u(n+1) et u(n)

Si on a u(n)=u0*q^n alors u(n+1)=u0*q^(n+1) et u(n+2)=u0*q^(n+2)

On remplace dans la relation, on peut simplifier par u0 et par q^(n), car u0 et q sont non nuls (énoncé) et parce que q^(n+2)=q^n * q² et aussi q^(n+1)=q^n*q

On obtient alors une équation du second degré en q, sa résolution donne les deux valeurs de q cherchées.




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