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Algèbre lineaire

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Algèbre lineaire
Message de dani1505 posté le 06-01-2021 à 16:35:16 (S | E | F)
bonjour,
J’ai un exercice qui me pose un problème. Le voici:

On considère le vecteur v appartement à R^3 de coordonnées (1,2,3)

1) Donner une équation cartésienne pour le plan orthogonal à v
2) Calculer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.
3)Calculer les images par cette symétrie des vecteurs suivants:
v1=(1,1,1)
v2=(1,-2,1)
v3=(7,0,0)
v4=(0,0,0)
v5=(1,2,3)

Pour la question 1, v est normal au plan donc j’en déduis instantanément une équation cartésienne étant:
x+2y+3z=0
C’est en revanche pour la seconde question, je ne sais pas comment m’y prendre.
Merci d’avance pour votre aide.


Réponse : Algèbre lineaire de tiruxa, postée le 07-01-2021 à 10:59:00 (S | E)
Bonjour

Il faut chercher les coordonnées des symétriques des vecteurs de la base (i,j,k) dans cette même base.

Si on ne dispose pas de logiciel de calcul, on peut procéder ainsi:

Définir une base (t,u) du plan P d'equation x+2y+3z=0, on otient alors une base (t,u,v) de R^3 où v est le vecteur normal au plan P.

Pour chaquevecteur i,j et k
- les écrire dans la nouvelle base , on obtient i=at+bu+cv,.... (système de 3 équations à 3 inconnues)
- les transformer par la symétrie,on obtient i'=at+bu-cv (par définition de la symétrie par rapport à un plan)....
- écrire les coordonnées de ces transformés dans la base (i,j,k) en remplaçant t,u et v en fonction de i, j et k.

Voilà c'est laborieux mais cela fonctionne.
C'est plus rapide avec les matrices de changement de base.




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