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Entier de Gauss

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Entier de Gauss
Message de aury53 posté le 22-10-2020 à 11:33:48 (S | E | F)
Bonjour je suis bloqué depuis plusieurs jours sur cet exercice:

Un entier de Gauss est un nombre complexe de la forme g = a + ib où a et b sont des nombres entiers relatifs
a) Montrer que la somme de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss
b) Montrer que le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss
c) Soit z un entier de Gauss non nul. Montrer que 1/z est un entier de Gauss si et seulement si z ∈ {1; −1;i; −i}

Merci d'avance de bien vouloir me répondre


Réponse : Entier de Gauss de lumie27, postée le 23-10-2020 à 00:39:25 (S | E)
Bonsoir,
N'ayant vu cela que très rapidement, je ne m'avancerai pas trop.
---
Néanmoins, il me semble qu'il faut déjà faire attention à la forme, pour les deux premières questions du moins.
En effet, "a" et "b" ne sont que des appellations génériques. Autrement dit, on peut, du moment que cela respecte la règle donnée (Soit : "a et b sont des nombres entiers relatifs".), leur faire prendre n'importe quelle valeur.
Par conséquent, on peut très bien dire, par exemple, que a=2m, avec m entier relatif. "a" sera toujours un entier relatif au final dans cet exemple.
Ainsi, l'essentiel est de faire ressortir la somme (Entre la partie réelle et la partie imaginaire.) et le produit (Entre i et un nombre entier relatif.) ; le contenu important peu.

Donc, je vous conseille pour la a) de développer et de retrouver cette forme en veillant à simplement respecter le fait que "a" et "b" sont des entiers relatifs ; et de faire ensuite la même chose pour la b), où il faudra cependant davantage remanier le tout.
---
Cela reste à confirmer.
Bon courage quand même 😇(En espérant ne pas avoir trop raconté de bêtises....).



Réponse : Entier de Gauss de roseodile, postée le 23-10-2020 à 11:17:52 (S | E)
Bonjour,
Pour les questions a) et b) il faut écrire sous forme algébrique la somme et le produit . Utiliser les propriétés des entiers relatifs, la somme et le produit deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.
Pour la question c) il faut d'abord vérifier que 1,-1, i et -i sont bien des entiers de Gauss, ce qui est évident.
Il faut ensuite démontrer que ce sont les seules solutions.Il faut écrire l'inverse de z sous forme algébrique, déterminer la partie éelle et la partie imaginaire qui doivent être des entiers relatifs
Penser à utiliser que a et b ne sont pas simultanément nuls.Si a est nul, alors b est non nul et on démontre que b=1 ou -1.
Si a n'est pas nul, il faut démontrer que b est nul et utliser le même raisonnement pour déterminer les valeurs possibles de a



Réponse : Entier de Gauss de aury53, postée le 23-10-2020 à 15:52:41 (S | E)
Bonjour,
Merci infiniment de votre aide.
J'ai donc fait cela mais je ne suis pas sûr:
G= a+ib
Z= x+iy
a, b, x et y ∈ Z
a) a+ib + x-iy
(a+x)+i(b-y)
Comme la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs a+x et b-y ∈ Z et donc la somme de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.

b) =(a+ib) * (x-iy)
= ax - aiy +ibx - by
= (ax - by) +i(ay+ bx)
Comme le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs ax-by et ay+bx ∈ Z et donc le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.

c)Si z=1 On a 1/1=1 et est un entier de Gauss puisque qu’il peut s’écrire de la forme algébrique a+ib où a=1 et b=0 et a et b ∈ Z
Si z=-1 On a 1/-1=-1 et est un entier de Gauss puisque qu’il peut s’écrire de la forme algébrique a+ib où a=-1 et b=0 et a et b ∈ Z
Si z=i On a 1/i=-i et est un entier de Gauss puisque qu’il peut s’écrire de la forme algébrique a+ib où a=0 et b=-1 et a et b ∈ Z
Si z=-i On a 1/-i=i et est un entier de Gauss puisque qu’il peut s’écrire de la forme algébrique a+ib où a=0 et b=1 et a et b ∈ Z
1/z= 1/a+ib où a et b ∈ Z
Pour 1/z soit un entier de Gauss il faut que a=0 ou b=0
Si a= 0 on a
1/z= 1/ ib et b ≠ 0
1/ib =i
(1/ib)^2 =i^2
1^2/ib^2=i^2
1 /ib^2=i^2
1= ib^2 * i^2
1= i^2*b^2 * i^2
1=b^2 donc b=1 ou b=-1
z=i ou z=-i

Si b est nul, alors a est non nul et on démontre que a =1 ou -1.
Si b=0 on a
1/z = 1/ a et a ≠ 0
(1/a) = 1
(1/a)^2 = 1^2
1/a^2 =1
1= 1 * a^2
a^2 =1 donc a =1 ou -1
z=1 ou z=-1



Réponse : Entier de Gauss de roseodile, postée le 25-10-2020 à 16:37:15 (S | E)
Bonjour,
Je reviens sur quelques points à rectifier.
Dans les questions a) et b) vous avez posé Z=x+iy, dans les calculs de G+X et GX le signe + est devenu -, il faut corriger, sachant que x-iy est le conjugué de x+iy.

Dans la question c) les vérifications sont bien faites et bien rédigées.
Si a=0 alors 1/Z=1/ib avec b entier et différent de 0, 1/Z=-i/b . 1/Z est un entier de Gauss si et seulement si 1/b est entier, avec b entier Il n'y a que deux solutions 1 et -1.
Si a est différent de zéro, il faut démontrer que b=0 .
J'ai trouvé une première démonstration, je vais voir s'il n'y en a pas une plus simple .
Bon courage



Réponse : Entier de Gauss de tiruxa, postée le 26-10-2020 à 19:12:13 (S | E)
Bonjour, une solution en raisonnant par l'absurde...

Si a est non nul, on a |a|>=1 (j'utilise la valeur absolue pour que ce soit plus smple à rédiger cela évite d'envisager deux cas)
Donc en multipliant par |a| on a a²>=|a|

Raisonnons par l'absurde supposons b non nul on a alors b²>=1 et donc a²+b²>=|a|+1

Or 1/z=(a-ib)/(a²+b²)

Puisque 1/z est un entier de gauss a²+b² divise a



Réponse : Entier de Gauss de tiruxa, postée le 26-10-2020 à 21:52:36 (S | E)
donc a²+b² inférieur à |a| ce qui est absurde d'apràs l'inégalité précédente (en rouge)

Donc b=0



Réponse : Entier de Gauss de roseodile, postée le 27-10-2020 à 14:31:37 (S | E)
Si a est non nul.
On suppose b non nul, a et b sont des entiers, la valeur minimale de a²+b² est 2 . Tout entier de Gauss avec a et b différents de zéro a donc un module supérieur strictement à 1.
Son inverse 1/z=(a-ib)/(a²+b²) a donc une partie réelle et une partie imaginaire non nulles et un module strictement inférieur à 1, ce n'est pas un entier de Gauss. L'hypothèse b non nul est absurde.



Réponse : Entier de Gauss de tiruxa, postée le 27-10-2020 à 15:38:02 (S | E)
Bonjour Roseodile

Oui c'est plus élégant comme cela, bien vu.

Belle utilisation de |1/z|=1/|z|



Réponse : Entier de Gauss de aury53, postée le 07-11-2020 à 14:25:52 (S | E)
Merci pour votre aide
Pourriez vous aussi m'aider à démontrer la réciproque?



Réponse : Entier de Gauss de tiruxa, postée le 07-11-2020 à 15:05:34 (S | E)
Mais voyons c'est justement cette réciproque que l'on vous a démontré plus haut.
Relisez les posts de Roseodile : celui du 25-10-2020 à 16:37 et celui du 27-10-2020 à 14:31.




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