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A functional equation

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A functional equation
Message de integrator posté le 16-09-2020 à 07:31:46 (S | E | F)
Bonjour à tous,

Je propose le problème suivant:

Résoudre l'équation fonctionnelle Lien internet
.

Avec respect,

Integrator


Réponse : A functional equation de integrator, postée le 18-09-2020 à 14:05:04 (S | E)
Bonjour à tous,

Cette équation fonctionnelle est facile à résoudre , mais je ne sais pas si elle a plus de solutions ...Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator



Réponse : A functional equation de tiruxa, postée le 18-09-2020 à 16:05:36 (S | E)
Bonjour,

Oui on peut légitimement penser que c'est une fonction trinôme mais les calculs restent fastidieux "à la main"...

On trouve :

f(x)= -1/19 x²+41/95 x-617/95

On peut y arriver par identification puisque l'égalité est valable pour tout x ou bien en prenant x=-5 (car pour -5 les deux parenthèses sont égales à -13)

On calcule alors f(-13), f'(-13) et f"(-13) qui donnent les coeff a, b et c du trinôme.



Réponse : A functional equation de integrator, postée le 20-09-2020 à 16:49:10 (S | E)
Bonjour "tiruxa",

Mon raisonnement:

Soit Lien internet
, alors Lien internet
et Lien internet
. L'introduction des fonctions f(3x+2) et f (2x-3) dans l'équation fonctionnelle donnée conduit finalement à trouver les coefficients a, b, c ...
Comment pouvons-nous prouver qu'il n'y a pas d'autres fonctions pour vérifier l'équation fonctionnelle?Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator

-------------------
Modifié par integrator le 20-09-2020 17:03





Réponse : A functional equation de tiruxa, postée le 21-09-2020 à 14:56:17 (S | E)
Bonjour,

La question est plus épineuse...

Je vais supposer que l'on cherche une fonction f indéfiniment dérivable sur R.

D'abord on a trouvé une solution, notons la f1, si on en a une deuxième que je note alors f2, on voit vite que f2-f1 vérifie l'équation 3f(3x+2)=2f(2x-3) (E') où x est quleconque dans R.

Notons g est une solution de cette équation (E'), on a f2-f1=g et donc f2= f1+g.

Autrement dit toute solution de (E) s'écrit f1+g où g est solution de (E').

C'est comme cela que l'on procède aussi pour les équations différentielles...

Reste à résoudre (E')

Soit g une solution de (E') et indéfiniment dérivable sur R, on a g(-13)=0 (en prenant x=-5)

En dérivant les deux membres (E') on a 9g'(3x+2)=4g'(2x-3) d'où g'(-13)=0 (toujours pour x=-5)

En dérivant une deuxième fois, 27g"(3x+2)=8g"(2x-3) d'où g"(-13)=0

De même pour la dérivée "nème".... on a g^(n)(-13)=0.

Si on utilise le développement en série de Taylor de g au point (-13), il vient que g(x) = 0 pour tout réel x.

Lien internet


Donc f1=f2 et f1 est la seule foncton indéfiniment dérivable solution de (E)



Réponse : A functional equation de integrator, postée le 25-09-2020 à 06:53:40 (S | E)
Bonjour "tiruxa",

Après avoir revu mon raisonnement, il s'avère que Lien internet
où c est une constante.

Cette solution est-elle correcte?Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator



Réponse : A functional equation de tiruxa, postée le 25-09-2020 à 07:49:47 (S | E)
Bonjour,

Oui c'est correct mais cela ne contredit absolument pas ce que j'avais écrit. Cela dépend de ce que l'on cherche, si c'est une fonction indéfiniment dérivable sur R il n'y a qu'une solution c'est la fonction trinôme.

Mais là vous donnez une fonction qui n'est pas définie en -13.
Cette fonction g telle que g(x)=3c/(2(x+13)) est en effet solution sur R privé de (-13) de l'équation 3f(3x+2)=2f(2x-3) donc on peut l'ajouter à la précédente solution pour en obtenir une autre.

Comme quoi il est important de bien donner la consigne dans une équation, préciser ce que représentent les lettres utilisées.



Réponse : A functional equation de integrator, postée le 26-09-2020 à 07:38:01 (S | E)
Bonjour "tiruxa",

Cependant , parce que le problème proposé ne spécifie pas le domaine et le codomaine des fonctions, alors la solution générale est Lien internet
Lien internet
est une constante et Lien internet
.Existe-t-il fonctions d’une variable
complexe?Je dis , oui!Seulement après avoir trouvé toutes les solutions de cette équation fonctionnelle nous pouvons spécifier le domaine et le codomaine de ces fonctions et donc qui vérifie cette équation fonctionnelle.
Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator




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