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Développement

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Développement
Message de perfect posté le 11-08-2020 à 17:53:20 (S | E | F)
Bonjour,

L'exercice suivant sollicite un développement de l'égalité puis une réduction de celle-ci. En raison, de sa longueur importante, je ne sais pas comment m'y prendre.

E=[x²+(2+sqrt(2)x+1+sqrt(2)]*[x²+(2-sqrt(2)x+1-sqrt(2)]

Merci d'avance pour les réponses apportées.


Réponse : Développement de lemagemasque, postée le 11-08-2020 à 19:24:59 (S | E)

Bonjour,

Pour rappel, pour a,b,c réels :

a(b + c) = ab + ac (distributivité de * (multiplication usuelle dans R) par rapport à + (addition des réels))

Donc, si on a E = -5(-4 + 2) par exemple, cela donne :

E = -5*(-4) + (-5)*2 = +20 - 10 = 10

Maintenant, si on a F = (a + b)(c + d) et en posant x = c + d (x appartient bien alors à R, donc on peut utiliser la formule précédente), on peut généraliser la formule précédente pour retrouver celle de double distributivité :

F = (a + b)(c + d) = (a + b)x = ax + bx = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

En généralisant avec des additions à 3 termes, cela donne ceci (principe suivant à retenir) :


9 termes dans le développement de B, car 3 termes à gauche et 3 termes à droite : 3 * 3 = 9.

Cependant, on omet généralement l'étape intermédiaire pour aller plus vite, ainsi que les parenthèses dans le résultat final, qui sont inutiles, mais qui vous permettent de comprendre d'où vient chaque terme.
On écrit alors seulement ceci :

B = (a + b + c)(d + e + f) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf

De façon plus visuelle :

On commence dans un premier temps par les opérations avec le (+)a (flèches bleues ; a*d + a*e + a*f), puis avec le +b (flèches orange ; b*d + b*e + b*f), pour terminer avec le +c (opérations non indiquées sur le schéma précédent par manque de place ; c*d + c*e + c*f).

Si on a plutôt ceci

Cela donne :

Un exemple complet : B'' = (5 - 4 + 1)(2 + 7 - 1)

B'' = 5(2 + 7 - 1) - 4(2 + 7 - 1) + 1(2+ 7 - 1)

B'' = (5 * 2 + 5 * 7 - 5 * 1) + (-4 * 2 +(-4) * 7 + (-4) * (-1)) + (1 * 2 + 1 * 7 - 1 * 1)

B'' = (10 + 35 - 5) + (-8 - 28 + 4) + (2 + 7 - 1)

B'' = 40 - 32 + 8

B'' = 16

En pratique, on ne fera jamais comme dans l'exemple si on n'a que des constantes (comme ici) dans le facteur de gauche et de droite, car c'est trop long. On simplifiera d'abord les 2 facteurs pour aboutir à une simple multiplication :

B'' = (5 - 4 + 1)(2 + 7 - 1)

B'' = 2 * 8

B'' = 16

L'exemple a donc une utilité purement pédagogique.

NB : Quand on multiplie un terme par 1, on ne fait généralement pas apparaitre le 1 (raccourci d'écriture) :


  • 1 * 4 = 4

  • 1(2 + 3) = 2 + 3


J'espère ne pas vous avoir noyé dans les détails techniques (j'en ai d'ailleurs omis quelques uns). Si c'est le cas, regardez uniquement le message suivant.

Bonne journée !





Réponse : Développement de lemagemasque, postée le 11-08-2020 à 19:48:13 (S | E)

Je mets l'essentiel dans ce message :


Si vous avez bien compris mes explications, vous pourriez essayer sur votre exemple.

NB : En réarrangeant ce dernier, et en utilisant plusieurs identités remarquables, on peut s'éviter de longs calculs



Réponse : Développement de tiruxa, postée le 11-08-2020 à 20:33:52 (S | E)

Bonjour,

Juste un mot qui n'a pas été évoqué c'est 'expression conjuguée'

l'expression conjuguée de  est 


Quand on multiplie les 2 expressions on a une identité remarquable qui ici donne 9-4*2 = 1.

Plus généralement l'expression conjuguée de  est 


Quand on multiplie les 2 on trouve a²-2b².

Or ici c'est ce que l'on a un produit de deux expressions conjuguées,
il suffit donc de les écrire sous la forme voulue soit  et .


Bon travail





Réponse : Développement de lemagemasque, postée le 11-08-2020 à 20:40:58 (S | E)
Bonsoir tiruxa,

Merci pour ce complément d'information !
Effectivement, quand je parlais d’identités remarquables dans mon 2e message, je pensais bien à celle-ci : (a - b)(a + b) = a^2 - b^2.
Cependant, la consigne de l'exercice présenté par perfect suggère de développer au préalable l'expression présentée (ce qui ne me semble cependant pas le plus optimal... ; d'ailleurs, pourquoi écrire 2 + 1 au lieu de 3 ? et ces parenthèses inutiles dans l'expression donnée ?)

Bonne soirée !



Réponse : Développement de tiruxa, postée le 12-08-2020 à 00:27:01 (S | E)
Oui tout à fait Lemagemasque la présentation bizarre du calcul ressemble tout à fait à un piège.

Si l'on veut tester la capacité à développer on ne donne pas des facteurs qui peuvent se réduire (2+1) ni des expressions qui sont conjuguées l'une de l'autre.

De toutes façons il reste encore un développement à effectuer après l'identité remarquable (a+b)(a-b).



Réponse : Développement de perfect, postée le 12-08-2020 à 17:44:09 (S | E)
Bonjour,

Merci pour vos rappels toujours utiles. Je fus déjà avisé de ces méthodes, je croyais cependant une mise en application différente que celle que l'on utilise ordinairement. La bizarrerie du calcul que vous avez observée n'est pas anodine : elle relève d'une erreur d'écriture de ma part.

Je vous réinscris donc le véritable calcul : E=[x²+(2+sqrt(2)x+1+sqrt(2)]*[x²+(2-sqrt(2))x+1-sqrt(2)] ---> Une parenthèse était manquante.

J'ai finalement résolu l'exercice et à la demande de lemagesque dans un post précédent, je publie ma résolution.

E=[x²+(2+sqrt(2)x+1+sqrt(2)]*[x²+(2-sqrt(2))x+1-sqrt(2)]
= x^4+(2-sqrt(2))x^3+x²-sqrt(2)x²+(2+sqrt(2))x^3+(2-sqrt(2))(2+sqrt(2))x²+(2+sqrt(2))x-sqrt(2)x(2+sqrt(2))+x²+(2-sqrt(2))x+1-sqrt(2)+sqrt(2)x²+sqrt(2)x(2-sqrt(2))+sqrt(2)

=x^4+4x^3+4x²+4x+(sqrt(2)x)(2-sqrt(2)-(2+sqrt(2))-1
=x^4+4x^3+4x²+4x-4x-1
==x^4+4x^3+4x²-1

Merci pour votre aide,
perfect

PS : les formes barrées vous apparaissent-elles ? Pas pour moi, cela doit être un bug.
-------------------
Modifié par perfect le 12-08-2020 17:44



Réponse : Développement de lemagemasque, postée le 12-08-2020 à 19:34:13 (S | E)

Bonjour,

Merci d'avoir signalé votre erreur d'écriture !
Le résultat est correct (et les termes qui devaient l'être apparaissent bien barrés dans votre message (suite à votre édit)).
Cependant, vous auriez dû écrire E comme ceci : (c'est-à-dire mettre des parenthèses autour de  ), cela afin que l'écriture de E soit cohérente, et afin d'avoir également moins de termes quand vous développez la première fois.

On pouvait effectivement, après correction de votre erreur, simplifier l'expression avant développement. Pour cela, il fallait utiliser les identités remarquables, dont celle décrite dans le premier message de tiruxa.

Je reconnais l'expression x^2 + 2x + 1 (par habitude). Je vais essayer de l'isoler des autres termes de E :

Après avoir mis en relief l'expression x^2 + 2x + 1, je simplifie E en factorisant :

Je reconnais alors l'identité remarquable (a+b)(a-b) = a^2-b^2 présentée par tiruxa (formes conjuguées) :

En posant X = (x+1)^2, j'obtiens E = X^2 - 2X. Toujours par habitude, je pressens que l'on peut simplifier E en faisant apparaître explicitement l'expression X^2 - 2X + 1 :

 

Je factorise :

Je simplifie l'expression entre crochets (x+1)^2 - 1 en développant par exemple (x + 1)^2 et en simplifiant :

Je développe enfin l'expression obtenue (qui est plus simple que celle de départ, reconnaissez-le) pour obtenir le résultat final :

Bonne journée !





Réponse : Développement de tiruxa, postée le 13-08-2020 à 17:02:16 (S | E)
Très joli Lemagemasque cette solution toute en Latex

J'étais persuadé que cela ne marchait plus sur ce site mais cela a été réparé. Merci à eux.

Du coup j'ai modifié mon post précédent



Réponse : Développement de lemagemasque, postée le 15-08-2020 à 17:38:29 (S | E)

Bonjour tiruxa ,

beaucoup !
Il y a encore quelques petits bugs avec l'implémentation du sur le site (et c'est moins joli que l'original car l'utilisation d'images pour rendre le TeX n'est pas terrible et déforme quelque peu le message), mais ça (re)marche

Bonne journée !






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