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Variable aléatoire discrète

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Variable aléatoire discrète
Message de math52 posté le 14-05-2020 à 22:11:58 (S | E | F)
Bonjour tout le monde,

Voici un nouvel exercice sur les variables aléatoires discretes, j'aurais besoin de votre aide et de votre avis sur les questions suivantes, Merci d'avance !!!!


Une puce saute d’un centimètre sur sa droite avec probabilite 2/3 et sur sa gauche avec probabilite 1/3.
On note Xn la variable aléatoire valant 1 si la puce a sauté sur sa droite et -1 si elle a sauté sur sa gauche. On suppose ses deplacements indépendants et que la puce part d’un endroit repéré.
1. Que représente la variable aléatoire Sn=X1+···+Xn?
2. Soit la variable aléatoire définie par Yk= (Xk+1)/2. Déterminer P[Yk= 1] etP[Yk= 0]. Quelle est la loi deYk?
3. On poseBn=Y1+···+Yn. Quelle est la loi de la variable aléatoireBn?
4. On fixe provisoirement n= 10. Quelle est la probabilité pour que B10= 5 ?
5. En utilisant la question précédente, déterminer avec quelle probailité la puce est de nouveau à son point de départ 0 après 10 sauts.
6. Ecrire une relation reliant Sn et Bn.
7. Après n sauts quelle est la position moyenne de la puce relativement à son point de départ ?
8. La puce peut-elle être revenue à son point de départ après un nombre impair de sauts ? Expliquez.
9. Exprimer la probabilité pour que la puce se trouve à son point de départ après n= 2k sauts.

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Modifié par math52 le 14-05-2020 22:12




Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 15-05-2020 à 07:30:41 (S | E)
Bonjour,

Quelques aides pour les premières questions, mais il serait bon de dire ce que tu as réussi ou commencé à traiter...

1) Si on prend comme origine son point de départ, le centimètre comme unité et la droite comme sens positif, cette droite devient un axe, je te laisse deviner ce que vaut Sn.

2)Si Xk vaut 1, Yk=(1+1)/2=1, si Xk vaut -1, Yk=0
la suite en découle...

3)Bn compte le nombre de fois où Yk vaut 1 c'est à dire où Xk vaut 1 sur cette succession de n épreuves indépendantes à deux issues.... la conclusion me semble claire..

Après on utilise cette loi... bon travail



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 15-05-2020 à 18:25:46 (S | E)
Bonjour,

D'abord, merci de votre aide

J'ai effectué la question 1 en expliquant que Sn = somme des Xn et donc que c'est la somme des sauts de la puce

Maintenant en ce qui concerne la question je n'arrive pas à comprendre ce que représente Yk, pour moi P[Yk=1] = 1, j'ai réalisé le calcul suivant (Xk+1)/2 =1 on trouve Xk=1 et pareil pour (Xk+1)/2 = 0 je trouves -1 donc P[Yk=0]=-1. Enfin, pour déterminer la loi, je suppose que c'est une loi de Bernoulli de paramètre (n;2/3)

Pour la question 3 même chose je n'arrives pas à comprendre ce que vaut Bn. Je dirai que Bn suit une loi binomiale étant donné que Bn = Y1 + ..; +Yn

Je n'arrive pas à comprendre la différence entre Bn et Sn et entre n et k..

Qu'en pensez vous ?

Bonne soirée à vous !

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Modifié par math52 le 15-05-2020 18:42



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Modifié par math52 le 15-05-2020 18:56





Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 15-05-2020 à 19:00:24 (S | E)
Bonsoir,

Déjà sur les premières questions cela manque de rigueur :

Pour le 1°
Dire que Sn est une somme n'est pas suffisant, on sait déjà que Sn=X1+X2+...+Xn !

Prenons un exemple pour n=3, si X1=1, X2=1 et X3=-1, on a S3=1+1-1=1

Cela signifie que l'on est arrivé à 1cm à droite du point de départ (on a fait deux sauts à droite et un à gauche)
Autrement dit que l'on est arrivé au point d'abscisse 1 sur l'axe que j'avais défini dans mon message précédent.

Il suffit de généraliser cet exemple...

Pour le 2°
Ok. Yk prend les valeurs 1 et 0 avec les probabilités 2/3 et 1/3 données dans l'énoncé.
C'est bien une variable aléatoire de Bernoulli (attention pas un schéma de Bernoulli !)

Le schema de Bernoulli intervient au 3eme, Bn c'est le nombre de succès de ce schéma (si on appelle succés le fait de sauter à droite)
Bn suit donc la loi bien connue...



Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 15-05-2020 à 19:45:02 (S | E)
Au sujet de Bn et Sn

Bn c'est le nombre de sauts à droite effecturés et Sn c'est l'abscisse du point d'arrivée.

Dans l'exemple pris précédemmment avec 3 sauts (deux à droite et un à gauche) on a S3 = 1 et B3 = 2, pour passer de B3 à S3 il faut voir que l'on a B3 sauts à droite et donc 3-B3 saut à gauche donc l'abscisse X3 est telle que

X3=B3*1+ (n-B3)*(-1) c'est à dire 2*1 + (3-2)*(-1)=2-1=1

reste à généraliser...



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 15-05-2020 à 20:24:58 (S | E)
D'accord j'ai bien compris les 3 premières questions.

Pour la question 4 je vais me pencher dessus, pour la question 5 je suppose qu'il faut faire 2/3^5*1/3^5 ce qui donne 0,054%.

Pour la 7 je suppose qu'il faut utiliser l'espérance de la loi binomiale.

Pour la 8, la une ne peut jamais revenir sur son point de départ lorsque n est impair mais je ne sais pas comment justifier..

J'essaie de comprendre la différence entre Bn et Sn



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 15-05-2020 à 21:33:56 (S | E)
Re-bonjour,

Je reviens vers vous pour vous montrer ce que je pense.

Dans la question 4 on recherche la probabilité de B10=5 j'ai donc utilisé la formule de la loi binomiale : 10!/5!*(10-5)! * 2/3^5 * 1/3^5 ce qui me donne 13,65%.
J'ai bien compris qu'ici B10 = 5 signifie que sur 10 sauts il y en a eu 5 sur la droite, c'est bien ça ?

Pour la question 6, je suppose donc que la relation entre Sn et Bn est la suivante : Sn = Bn + (1-Bn)

Pour la 7, j'aurais tendance a utiliser l'espérance de la Loi géométrique 1/p = 1/ 2/3 = 3/2



Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 15-05-2020 à 23:41:36 (S | E)
Bonsoir

Pour la 6) je l'avais donné : X3=B3*1+ (n-B3)*(-1), il suffisait de remplacer 3 par n !

Pour la 7, il faut calculer la moyenne de Bn (loi binomiale donc) et en déduire celle de Xn en utilisant la relation du 6°)



Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 16-05-2020 à 00:02:24 (S | E)
Pour la 4) vous aviez oublié le nombre de combinaisons, mais là c'est juste après correction.

Oui B10=5 c'est bien 5 sauts à droite et 5 à gauche.

Pour la 8 demandez vous combien il faut de sauts à droite et de sauts à gauche, en tout, si l'on souhaite revenir au point de départ ?



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 16-05-2020 à 08:25:26 (S | E)
Je reviens vers vous concernant la question 5, selon moi avec 10 sauts la puce revient sur son point de départ au bout de 5 à droite et 5 à gauche mais il se trouve que cela revient a faire le même calcul qu'à la question 5 à savoir : 5 parmi 10 * 2/3^5 *1/3^5, on s'aperçoit donc qu'il faut forcément un nombre pair et on voit aussi que pour revenir au point de départ c'est toujours la moitié des sauts à droite et l'autre moitié à gauche (ici 10 sauts, pour revenir à 0 il faut faire soit 5 sauts à gauche puis 5 sauts à droite, je ne vois pas d'autre manière).


Pour la question 6 la relation est donc Sn = Bn*1 + (n-Bn)*(-1)

Pour la 7, la moyenne/espérance = n*p, ici le n n'est pas défini on pose alors 2/3*n ?

Pour la 8, étant donné qu'il faut autant de sauts de chaque coté pour revenir au point de départ, il faut forcément un nombre pair. N= 20 on ferait donc 10 sauts à droite et 10 sauts à gauche quoiqu'il arrive, alors que si n=19 on ferait soit 10 sauts à droite et 9 sauts à gauche ce qui donnerait 1 ou alors 10 sauts à gauche et 9 sauts à droite ce qui donnerait -1.


Pour la 9ème question, je n'arrive pas à savoir quelle relation utiliser, faut-il juste remplacer les n de la relation du 6 par 2k ?

Merci beaucoup pour votre aide ! 💪

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Modifié par math52 le 16-05-2020 08:29





Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 16-05-2020 à 12:26:53 (S | E)
Je reviens vers vous concernant la question 5, selon moi avec 10 sauts la puce revient sur son point de départ au bout de 5 à droite et 5 à gauche mais il se trouve que cela revient a faire le même calcul qu'à la question 5 à savoir : 5 parmi 10 * 2/3^5 *1/3^5, on s'aperçoit donc qu'il faut forcément un nombre pair et on voit aussi que pour revenir au point de départ c'est toujours la moitié des sauts à droite et l'autre moitié à gauche (ici 10 sauts, pour revenir à 0 il faut faire soit 5 sauts à gauche puis 5 sauts à droite, je ne vois pas d'autre manière).

Oui 4)et 5) c'est la même chose c'est en fait pour faire comprendre que B10=5 correspond à X10=0 pour amener la relation de laquestion suivante...

Pour la question 6 la relation est donc Sn = Bn*1 + (n-Bn)*(-1)

Oui c'est juste, on peut toutefois la réduire

Pour la 7, la moyenne/espérance = n*p, ici le n n'est pas défini on pose alors 2/3*n ?

Attention ceci est la moyenne de Bn en fait on cherche la moyenne de Xn, pour la trouver il faut utiliser la relation du 6°)

Pour la 8, étant donné qu'il faut autant de sauts de chaque coté pour revenir au point de départ, il faut forcément un nombre pair.

Oui c'est suffisant pour justifier, ne pas donner d'exemple il faut rester dans le cas général.

Pour la 9ème question, je n'arrive pas à savoir quelle relation utiliser, faut-il juste remplacer les n de la relation du 6 par 2k ?

On a n=2k, Xn=0, on peut calculer Bn avec la relation du 6) oui mêmesi c'est assez clair... puis chercher la probabilité de cette valeur de Bn dont la loi a été trouvé au 3)

Voilà... c'est vrai qu'en ce moment et depuis quelques temps on en est réduit à faire des sauts de puce .... Cela a peut être inspiré votre prof  

Bon travail

 




Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 16-05-2020 à 14:09:42 (S | E)
J'ai donc réduit la relation de la question 6 ce qui donne Sn= Bn- (n-Bn)

Pour la 7, comme Sn suit une loi de Bernoulli, la moyenne est égale à la probabilité de succès soit 2/3.

Puis pour la 9, j'essaie d'approfondir, j'ai noté Bn - (n-Bn) = 0 ; B2K - (2k - B2k) = 0; Je réfléchis !

Merci pour votre aide, les sauts de puces sont très en vogue ces temps-ci effectivement !



Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 16-05-2020 à 15:22:05 (S | E)
J'ai donc réduit la relation de la question 6 ce qui donne Sn= Bn- (n-Bn)

On peut réduire davantage en supprimant les parenthèses



Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 16-05-2020 à 15:26:39 (S | E)
Pour la 7, comme Sn suit une loi de Bernoulli

Non c'est Bn qui suit la loi Binomiale, on connait l'espérance mathématique de Bn, donc celle de k*Bn ou celle de Bn+k, où k est une constante réelle, on arrive à partir de la relation du 6 à trouver l'espérance mathématique de Xn



Puis pour la 9,

Après avoir réduit la relation du 6) ce sera plus facile

Mais en fait, il faut trouver combien de fois on saute à droite (soit le nombre de succés), sur un total de 2k sauts, pour revenir à l'origine ! Ce n'est guère compliqué !



Cela devrait suffire pour conclure, je pense.



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 16-05-2020 à 18:02:46 (S | E)
Pour la 6, je trouves -n êtes vous d'accord pour cette réduction ?



Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 16-05-2020 à 18:57:07 (S | E)
Bon là je crois qu'on ne se comprends pas !

Sn= Bn - (n-Bn)

Si on supprime les parenthèses on a Sn=Bn - n + Bn....

Les Bn s'ajoutent ils ne s'éliminent pas !



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 16-05-2020 à 21:32:18 (S | E)
Ce qui nous donne donc 2 BN -n

J'essaie de comprendre votre réponse pour la 7 mais je n'y arrives pas..

Bonne soirée à vous



Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 16-05-2020 à 23:12:07 (S | E)
Cela signifie que E(Xn)=2E(Bn)-n, où E() désigne l'espérance mathématique.

Il suffit de remplacer E(Bn) par sa valeur et calculer




Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 17-05-2020 à 09:56:01 (S | E)
Re-Bonjour,

Voici mon résultat,

E[2Bn - n] = 2* E(Bn) - n

= 2 * n * 2/3 - n
= 4/3 -n

Qu'en pensez vous ?



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 17-05-2020 à 11:30:41 (S | E)
En revanche je ne comprends toujours pas le déroulement pour la 9..



Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 17-05-2020 à 11:38:40 (S | E)
Bonjour,

J'en pense que vous avez des progrès à faire en calculalgébrique !

= 2 * n * 2/3 - n là c'est juste

Mais après où est passé le premier n ?




Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 17-05-2020 à 11:41:44 (S | E)
Pour la 9

Répondez à cette question :

Combien de fois on saute à droite (soit le nombre de succés), sur un total de 2k sauts, pour revenir à l'origine ?



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 17-05-2020 à 12:07:21 (S | E)
Désolé mais je n’arrives pas à comprendre la différence entre n et k...



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 17-05-2020 à 14:33:01 (S | E)

ok donc n le nombre d'épreuve et k le nb de sauts ?

il faut 2 k pour revenir à l'origine donc - 2k ?

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Modifié par math52 le 17-05-2020 14:33



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Modifié par math52 le 17-05-2020 14:34





Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 17-05-2020 à 14:52:37 (S | E)
Bon précédemment vous avezvu que le 4) et le 5) c'était pareil...

Vous avez écrit " B10 = 5 signifie que sur 10 sauts il y en a eu 5 sur la droite "

Donc la moitié à droite et la moitié à gauche donc on revient à l'origine.

Si on calcule X10 c'est 2*B10 -10 soit 2*5 - 10 donc c'est zéro, on est bien à l'origine.

La question 9 généralise cela : sur 2k sauts, pour revenir à l'origine, il y en a la moitié à droite et la moitié à gauche...

Donc que vaut Bn ? et quelle est sa proba?



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 17-05-2020 à 15:44:07 (S | E)
Re-Bonjour,

On cherche P{Xn=0] donc P[X2k=0] et comme auparavant on avait X10 = 0 donc ici k vaut 5 ?
Et donc comme à la 5, la Proba vaut 13,65%?
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Modifié par math52 le 17-05-2020 15:46





Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 17-05-2020 à 15:53:49 (S | E)
Re-non...hélas ! Ici on est dans le cas général ! La proba va dépendre de k.

Ok on doit avoir X2k=0

mais la formule (loi binomiale) concerne B2k !

Donc d'abord que vaut B2k ? (je rappelle que l'on a une relation entre Bn et Xn qui doit permettre de réponsre)



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 17-05-2020 à 18:58:08 (S | E)
Je tente quelque chose

On a : Sn = 2 Bn - n
On veut isoler Bn donc

2 bn = Sn + n ? ou bn = Sn + n /2 ?

Si on remplace n par 2k

b2k = S2k + 2k/2

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Modifié par math52 le 17-05-2020 18:59





Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 17-05-2020 à 19:04:34 (S | E)
Oui mais avec des parenthèses au numérateur.

Comme Sn=0 et n=2k on peut en déduire Bn c'est à dire B2k

Bon en gros il suffisait de diviser n par 2, car pour revenir au départ il faut une moitié de sauts à gauche et une moitié à droite (c'est d'ailleurs pour cela que l'on prend n pair pour pouvoir lediviser par 2) , donc 2k/2 !



Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 17-05-2020 à 19:30:08 (S | E)
D'accord je comprends mieux mais la probabilité serait elle donc : P[X = 0] = k parmi 2K * 2/3^k * 1/3^2k-k ?

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Modifié par math52 le 17-05-2020 19:43





Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 17-05-2020 à 19:57:38 (S | E)
Oui c'est ça, attention toutefois aux parenthèses oubliées, par exemple on doit écrire (2/3)^k, d'autre part (2k-k) est égal à k.

Mais c'est le bon résultat !




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