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Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre

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Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre
Message de math52 posté le 08-05-2020 à 17:20:35 (S | E | F)
Bonjour je suis en 1ère année de GEA à l'IUT de Dijon, nous traitons en ce moment les Probabilités et variables aléatoires discrètes.

J'ai un exercice de probabilités dans lequel on me dit qu'un bandit rouleau de casino (machine à sous) comporte 3 rouleaux. Sur chacun des 3 rouleaux, il y a 18 combinaisons possibles. Lorsqu’un joueur actionne le bras de cette machine à sous, une des combinaisons possibles est sélectionnée uniformément au hasard parmi toutes les combinaisons possibles. La partie coute 0,50€.

On a 8 combinaisons gagnantes : "7 - 7 - 7" nous fait gagner 200€;
"BAR - BAR - BAR" nous fait gagner 80€;
"BA-BA-BA" nous fait gagner 40€
"B - B - B" nous fait gagner 10€
3 cerises nous font gagner 10€
"ANY - ANY - ANY" nous fait gagner 5€
2 cerises nous font gagner 5€
1 cerise nous fait gagner 2€

On note X la variable aléatoire donnant le gain (brut) d’un joueur lors d’une partie.

1. Combien y a-t-il de combinaisons équiprobables possibles ?

Pour cette question j'ai effectuer la combinatoire p-liste comme suit : 18^3 me donnant 5832 combinaisons possibles

2. Combien y a-t-il de combinaisons correspondant au cas "1 cerise" ?

Pour cette question j'ai effectué le calcul suivant 1 parmi 3 * 18 ^2 donc 3!/1!*28 * 18^2 ce qui m'a donné 972 combinaisons.( J'ai hésité entre 18 et 17)

3. Combien y a-t-il de combinaisons correspondant au cas "2 cerises" ?

Même calcul qu'au dessus sauf que j'ai pris 2 parmi 3 * 18^2 ce qui m'a donné 54

4. Quel est le support de X ?
Pour le support de X, j'ai choisi l'ensemble des valeurs prises par X c'est à dire (0; 2; 5; 10; 40; 80; 200)

5. Déterminer la loi de X.

À partir d'ici je ne suis pas sur de ce que j'avance; J'ai opté pour une loi de Bernoulli avec 1 si on gagne qqch et 0 sinon. J'ai précisé que les parties indépendantes puis j'ai dit que X suit une loi de Bernoulli mais je ne connais pas sa p probabilité de succès car rien n'est indiqué.

6. Si un joueur réalise un grand nombre de parties, quel gain (brut) moyen peut-il espérer faire par partie ?Expliquez.

Pour cette question j'aurais tendance a utiliser la loi des grands nombres en expliquant que comme n (le nombre de parties est grand car rien n'est indiqué) la loi des grands nombre assure que X est proche de l'espérance de X1. Alors :
E (X1) = 0*P(X=0)+2*P(X=2)+5*P(X=5)+10*P(X=10)+40*P(X=40)+80*P(X=80)+200*P(X=200)

je sais qu'il faut utiliser : k parmi n * p^k * (1-p)^n-k
Mais je comme je ne sais pas à quoi correspond n et k je n'y arrive pas

7. En déduire le gain net moyen par partie d’un joueur compulsif.

Pour cette dernière question j'imagine que c'est le gain - le prix du nombre de partie jouée (0,50n)


C'est assez compliqué d'expliquer par écrit, si quelqu'un réussi à m'expliquer ce serait vraiment gentil en cette période de crise où les étudiants sont laissés en "liberté".
Merci d'avance !

-------------------
Modifié par math52 le 08-05-2020 17:21




Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de tiruxa, postée le 08-05-2020 à 20:24:57 (S | E)
Bonjour,

Je suppose que sur chaque rouleau le nombre de figures de chaque type est donné, c'est à dire combien y a t il de Bar, de Ba, de B, de ANY, de Cerises sur chaque rouleau ? Ok il y en a 18 en tout... mais combien de chaque sorte ?

C'est très important pour répondre aux questions posées



Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de math52, postée le 08-05-2020 à 22:50:05 (S | E)
Alors, c’est vrai que rien n’est indiqué la seule phrase est la suivante "un bandit manchot comporte 3 rouleaux sur chacun desquels figurent 18 symboles différents (les mêmes sur chaque rouleaux)"

L’exercice n’est vraiment pas clair...



Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de puente17, postée le 09-05-2020 à 10:54:44 (S | E)
Bonjoutr,

Pour le 2° je suppose qu'il s'agit de une et une seule cerise et dans ces conditions on doit 'choisir le rouleau donnant la cerise et les deux autres ne la donnant pas ce qui ferait 3 x 17x17.
Ce qui diffère de "au moins une cerise" ce qui devrait se traiter en passant par l'évènement contraire tous les cas moins les cas ou il n'y a aucune cerise (919)




Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de tiruxa, postée le 09-05-2020 à 12:08:32 (S | E)
Bonjour,

Oui Puente17 c'est tout à fait cela s'il y a une seule cerise sur chacune des trois roues du jeu.

Mais dans ce cas "avoir 3 cerises" a la même proba que "avoir trois 7" alors que l'un rapporte 10€ et l'autre 200€!

Cela ne me semble pas logique...

Mais bon rien dans l'énoncé ne permet de savoir combien il y a de cerises par roues...



Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de math52, postée le 09-05-2020 à 12:50:13 (S | E)
Re-Bonjour Puente17 et tiruxa,

Personnellement je pense qu'il y a 18 symboles sur chaque rouleau mais on ne connait pas le nombre de cerises qu'il y a sur un rouleau par exemple.
J'ai envoyé un mail à mon professeur pour plus de précision sur l'énoncé.

PS : je n'ai pas compris le raisonnement de 3*17 *17

Bien à vous.



Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de math52, postée le 09-05-2020 à 14:15:32 (S | E)
Re bonjour,

Mon professeur m’a répondu qu’il y a sur chacun des rouleaux une et une seule fois 1 symbole. Je pense donc qu'il y a 6 symboles gagnants (7-BAR-BA-B-ANY BAR-Cerise) et 12 autres symboles non gagnants



Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de tiruxa, postée le 09-05-2020 à 16:37:58 (S | E)
Bonjour,

Donc faisons ainsi...

Pour le 3*17*17

en fait chaque issue est un triplet (x,y,z),
pour avoir une cerise exactement, celle ci peut être à la place de x, de y ou de z.

Comptons les triplets où x est "cerise", il y a un seul choix donc pour x, quant à y et z comme ce ne sont pas des "cerises" il n' y a que 17 possibilités.

Donc 1*17*17 pour les triplets avec x=cerise
De même pour y=cerise ou z=cerise

Donc en tout, 1*17*17 + 17*1*17 + 17*17*1 = 3*17*17

On en déduit p(X=2)=3*17²/18^3

Faire la même chose pour 2 cerises exactement... (mais le résultat est différent)




Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de math52, postée le 09-05-2020 à 19:29:26 (S | E)
D'accord j'ai compris.
En revanche je suis bloqué à la question 5 correspondant à la loi. J'ai choisi Bernoulli, j'ai supposer 1 si il y a un gain donc au moins une cerise et 0 sinon. Mais qu'elle est la probabilité de succès ? J'aurai tendance à dire que c'est la probabilité d'avoir une cerise mais c'est peut être la probabilité d'avoir 1 cerise + avoir 2 cerises + 3 B +... + 777



Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de tiruxa, postée le 09-05-2020 à 19:38:51 (S | E)
Non pour la question 5, il faut calculer les probabilités de chaque gain c'est tout.

Pour p(X=2) c'est la proba d'avoir 1 cerise exactement qui a été calculée au 2eme.

p(X=5)=proba d'avoir 2 cerises exactement.

ainsi de suite

Quant à p(X=0) c'est 1 moins la somme des autres proba de gain que l'on a déjà calculées.




Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de math52, postée le 09-05-2020 à 21:26:09 (S | E)
Je comprends alors :
- 1 cerise : 867/5832 ? (avec 3*18*18 on trouve 1/6)
- 2 cerises : 51/5832 ?
- ANY BAR : a partir d'ici je n'ai aucune idée de comment faire, si je trouve cette probabilité je suppose que je trouverai les probabilités de faire 7-7-7 ect

J'ai effectivement compris que P(X=0) était 1- les probabilités de gains.

Je voudrais simplement comprendre comment trouver la probabilité de gain de 3 mêmes symboles. Serait-ce 1/5832 ? Ou alors faut il utiliser la loi Binomiale mais alors qu'est ce que p dans ce cas ?

Merci beaucoup de m'aider
Bonne soirée tiruxa




Réponse : Proba - Loi Bernoulli-Grand nombre de tiruxa, postée le 09-05-2020 à 21:36:21 (S | E)
Pour une et deux cerises, c'est juste

Pour les autres c'est en effet 1/18^3 puisqu'apparemment il n'y a qu'un seul dessin de chaque type par rouleau.

Bonne soirée




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