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Question sur l'empilement

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Question sur l'empilement
Message de alcoretmizar posté le 12-03-2020 à 15:24:24 (S | E | F)
Bonjour à vous...

Sur un exercice parlant d' une pile triangulaire d'oeufs, composée de 15 tranches.
J'ai trouvé la solution en appliquant la formule : n (n+1)(n+2) / 6 que j'ai trouvé sur internet (avec "n" le côté de la base).
Pour l'application, j'ai compris, mais j'aurai bien voulu comprendre le cheminement pour trouver cette formule ainsi que celle avec la pyramide à base carré qui est n (n+1)(2n+1) /6
Je trouve ça, très intéressant.
Si, il y avait quelqu'un pour m'éclairer, ça serait bien sympa
Merci...


Réponse : Question sur l'empilement de puente17, postée le 12-03-2020 à 17:37:20 (S | E)
Bonjour,

Juste quelques idées en frac pour vérifier la formule donnée.
Pour la démonstration il faut connaître le principe de démonstration par récurrence et la formule qui permet d'obtenir la somme des termes d'une suite arithmétique.
voyons le cas particulier suivant:
1+2+3+4+..+n = (n+1)n / 2 = Sn la démonstration de cette formule ne pause aucune difficulté:
2 Sn = (1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n)+(n+...+3+2+1)= (1+n) +(1+n)+...+(1+n) il y a n 'parenthèses' et donc 2 Sn = n(n+1)

Il ne faut pas négliger le bricolage pour se faire une idée et donc on peut regarder le début. Pour cela il faut avoir une grosse réserve d’œufs .
1 / 4 / 10 / 20 ... = 1 / 1+(1+2) / 1 +(1+2)+(1+2+3) / 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)/...
Appelons Un cette suite alors Un-U(n-1)= 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
Maintenant prenons la formule que vous donnez et posons:
Tn = n(n+1)(n+2)/6 et calculons Tn-T(n-1)
• Que constatez-vous?
• Que peut-on dire de U1 et T1?
• On a un même premier terme et une même formule de récurrence donc les 2 suites sont égales.

Pour la base carrée le même raisonnement doit également fonctionner je vous laisse le plaisir de faire la démarche.



Réponse : Question sur l'empilement de alcoretmizar, postée le 12-03-2020 à 20:33:12 (S | E)

Bonsoir "puente17"
Merci,pour votre réponse
J'avoue que je maîtrise pas tout.Je comprend la somme des termes d'une suite aritmetique et votre cas particulier 2sn=n (n+1), mais le reste je vais prendre le temps de l'éplucher tranquillement à tête reposée.
Bonne soirée à vous...


-------------------
Modifié par alcoretmizar le 12-03-2020 21:03





Réponse : Question sur l'empilement de tiruxa, postée le 13-03-2020 à 12:05:30 (S | E)
Bonjour,

Pour compléter lepost de Puente 17,je donne une méthode pour trouver la formule, en s'aidant des premiers éléments trouvés.

Il suffit de faire des différences successives. voir le tableau ci dessous

A chaque ligne on soustrait les deux éléments de la ligne dedessus (celui juste au dessus moins celui qui le précède)

On a trouvé 1, 4, 10, 20 expérimentalement.


1 4 10 20 (somme des nombres triangulaires formule à déterminer notée S(n))
1 3 6 10 (somme des entiers naturels ou nombres triangulaires, formule n*(n+1)/2)
1 2 3 4 (entiers naturels n)
1 1 1 1 (constante 1)

On remarque que le degré du polynôme diminue d'une unité à chaque soustraction, et augmente en sens inverse.

On en déduit de S(n) est degré 3, donc S(n)=an^3+bn²+cn+d

On doit avoir S(n)-S(n-1)=n*(n+1)/2 pour tout entier n.

Donc


an^3+bn²+cn+d-[a(n-1)^3+b(n-1)²+c(n-1)+d]=n²/2+n/2

après développement et réduction

3an²+(-3a+2b)n+a-b+c=n²/2+n/2, pour tout entier n

On identifie :

3a=1/2
-3a+2b=1/2
a-b+c=0

Ce qui est facile à résoudre, on trouve a=1/6, b=1/2 et c=1/3

Donc S(n) = n^3/6+n²/2+1/3 = n(n²+3n+2)/6 = n(n+1)(n+2)/6




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