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Dm maths nombres complexes

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[POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


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Dm maths nombres complexes
Message de ines1 posté le 11-02-2020 à 12:02:14 (S | E | F)
Bonjour à toutes et à tous, j'ai un DM de maths à rendre et je vous avoue être bloquée sur un exercice, le sujet est :
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O;u;v). On note C l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que (Z-2)(Z-2) (barre) =1
1) Justifier que C est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
2) Soit a un nombre réel. On appelle D la droite d'équation y=ax. Déterminer le nombre de points d'intersection entre C et D en fonction des valeurs du réel a.

Si vous pouvez m'aider, merci beaucoup de votre aide, je suis à votre disposition si vous ne comprenez pas les termes utilisés dans le sujet 🙏🏻


Réponse : Dm maths nombres complexes de tiruxa, postée le 11-02-2020 à 17:06:25 (S | E)
Bonjour,

Pour la question 1, il faut connaître deux résultats de cours :

|z|²= z . (z barre)

et AB=|zB-zA| , où zA représente l'affixe du point A

Dis nous comment tu apliques ces résultats et on corrigera éventuellement ta réponse.

Pour la question 2, remplacer z par x+iy et utiliser l'hypothèse disant que y=ax avec a réel, on arrive alors à une équation du second degré en x qu'il faut résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre a.

On attend tes résultats.



Réponse : Dm maths nombres complexes de puente17, postée le 11-02-2020 à 17:58:50 (S | E)
Bonjour à tous,

Une fois que l'on a compris que l'on a un cercle et une droite passant par l'origine (r. graphique d'une fonction linéaire) on peut terminer en utilisant le programme de 3ième (pourquoi faire compliqué ). on a un triangle 'semi-équilatéral'(30°,60°,90°).Il serait bon tout de même de faire aussi la méthode 'lycée' pour s’entraîner aux calculs.





Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 11-02-2020 à 18:03:37 (S | E)
J’avais essayer ça, mais je ne pense pas que ce soit bon puisque j’ai remplacé le z par x+iy
z x z (barre) = (x+iy-2)(x-iy-2)=x^2-(iy)^2+(-2)^2=x^2+y^2-4=(x^2-4)+y^2

Mais je comprends pas avec |z|^2 😣



Réponse : Dm maths nombres complexes de tiruxa, postée le 11-02-2020 à 18:43:21 (S | E)
Eh bien (z-2).conj(z-2)=|z-2|²

On a donc |z-2|²=1 qui équivaut à |z-2|=1

Si on appelle A le point d'affixe 2, c'est encore |zM-zA|=2 qui permet de conclure...




Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 11-02-2020 à 21:15:36 (S | E)
Et du coup si on a |z-2|=1 il suffit juste de remplacer z par x+iy et à la fin je suis censée obtenir (x-2)^2+y^2=R^2?



Réponse : Dm maths nombres complexes de tiruxa, postée le 12-02-2020 à 00:29:36 (S | E)
Mais non c'est fini quand on a |z-2|=1, cela signifie que AM=1 où A est le point d'affixe 2, donc cercle de centre..... et de rayon ......

Pour la question 2 par contre tu peux remplacer z par x+iy avec y=ax

Donc |x+iax-2|=1
ou |x-2+iax[=1
ou en élevant au carré
(x-2)²+a²x²=1

reste à développer puis calculer le delta qui doit être positif pour que les solutions existent...

Je te laisse poursuivre



Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 12-02-2020 à 06:59:48 (S | E)
Haaaa j’ai compris merci beaucoup,
Donc pour la première question,
Cercle de centre A(2;0) et de rayon 1 ?

Pour la deuxième question, j’ai besoin de faire un système ou pas du tout ?



Réponse : Dm maths nombres complexes de tiruxa, postée le 12-02-2020 à 11:08:34 (S | E)
Oui à mon avis c'est le plus simple à rédiger

Les deux équations étant :|z-2|=1 et y =ax

Par substitution on arrive à l'équation que je donnais plus haut (x-2)²+a²x²=1
à développer... puis calcul de delta, recherche des valeurs de a pour lesquelles delta est nul, delta est strictement positif, delta est strictement négatif.... ce qui donne les nombres de pts d'intersection, respectivement 1, 2 et 0.



Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 12-02-2020 à 12:02:17 (S | E)

Bonjour 


Une interpratation des résultats en images dynamiques Lien internet
.Bon courage et bonne continuation 





Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 12-02-2020 à 13:54:25 (S | E)

Si vous me le permettez,il me semblerait bien que la candidate a essayé de travailler avec la démarche a) mais elle s'est montrée non convaincante .Si,c'est aussi une autre méthode aussi valable qu'intéressante que la précédente:


 Merci et bonne continuation





Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 12-02-2020 à 16:21:45 (S | E)

Bonjour
Peut-etre,une petite suggestion : étant donné que les équations de C et de D sont déjà connues à partir de la première question 1)et pour répondre à la Q-2)il suffit de poser directement le système :


 Bon courage et bonne continuation 





Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 12-02-2020 à 18:29:51 (S | E)
Merci beaucoup pour votre aide à tous 🙏🏻 J’ai compris, j’espère néanmoins réussir la question en faisant un système et trouver une équation du second degrés puis poursuivre en faisant delta ? Est ce bien cela ?



Réponse : Dm maths nombres complexes de tiruxa, postée le 12-02-2020 à 19:29:00 (S | E)
Bonjour wab51,

Je suis bien sûr d'accord qu'il y a aumoins deux méthodes pour la question 1.

Si j'ai préconisé la méthode que tu as appelé b) c'est parce que la leçon porte sur les nombres complexes il m'a semblé plus intéressant de travailler avec les résultats de ce cours qui se révèlent très utiles dans nombre d'exercices.

La méthode a) est peut être plus parlante pour Inés car elle utilise les résultats du cours de l'année précédente sur les équations de cercle, c'est juste bien sûr mais c'est moins en rapport avec la leçon (à mon humble avis !).

Pour la question 2, j'ai déjà pratiquement tout exliqué dans mon message précédent.

Concernant ton dernier post Wab51, je ne suis pas d'accord sur le fait de devoir vérifier l'inéquation en x que tu donnes.
Cela correspond aux différentes abscisses possibles des points du cercle soit l'intervalle [1;3].
Il est clair que si ce système admet des solutions, les valeurs de x trouvées étant des abscisses de points du cercle sont forcément dans l'intervalle [1;3]. Donc il n'y a pas à vérifier cela.

De plus on ne demande pas les coordonnées de ces points mais le nombre de points.

Donc je me répète on fait une substitution on remplace y par ax.

(x-2)²+(ax)²=1

Développé et réduit cela donne

(a²+1)x² -4x +3=0

Delta= 16-12(a²+1) = 4 -12a² =4(1-3a²)

Là donc on doit étudier le signe de 1-3a² suivant les valeurs de a.... je laisse à Inès le soin de conclure.



Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 12-02-2020 à 20:58:56 (S | E)
Merci beaucoup pour votre aide ça m’a vraiment beaucoup aidé je comprends mieux maintenant !
Concernant la question 2, je dois faire x1 et x2 n’est ce pas ?
Merci encore 🙏🏻 Grâce à vous tous j’ai compris



Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 12-02-2020 à 21:08:42 (S | E)
Bonsoir tiruxa
Merci à vous.Parfaitement d'accord,il n'y a pas à vérifier cela (par condition évidente) même que cela laisserait voir que par substitution on aboutirait à la fameuse équation (a²+1)x²-4x+3=0 .Que la candidate tiendra compte de cette remarque et éviter un calcul inutile .Encore merci tiruxa



Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 13-02-2020 à 09:55:34 (S | E)
Du coup, si j’ai bien compris, après avoir le delta il suffit juste que je fasse les deux solutions c’est à dire x1 et x2 c’est ça ?



Réponse : Dm maths nombres complexes de tiruxa, postée le 13-02-2020 à 11:24:03 (S | E)
Ines à mon avis ce n'est pas nécessaire de chercher les coordonnées et donc x1 , x2, puisqu'on demande simplement le nombre de points d'intersection donc de solutions de ce système. Une fois l'étude du signe de delta effectuée il n'y a plus qu'à conclure, du genre si a < .... ou a >.........., delta < 0, donc pas de point d'intersection.... si a= .... ou a= .... delta =0 donc un seul point d'intersection (auquel cas la droite est tangente au cercle) et enfin si .....< a <..... delta > 0 donc deux points d'intersection (la droite et le cercle sont sécants).

Merci aussi à vous Wab51, nos interventions ont bien aidé Inés.



Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 13-02-2020 à 12:07:44 (S | E)
Hé bien merci à tout les deux, Wab51 et Tiruxa, sans vous je n’aurais jamais réussi, merci encore !!



Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 13-02-2020 à 13:09:31 (S | E)
Voulez-vous bien nous préciser :"A quelle équation se réfère votre désignation des deux solutions x1 et x2? et nous donner leurs valeurs respectives? Merci.



Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 13-02-2020 à 13:36:22 (S | E)
J’ai fait delta et me retrouve donc avec 4-12a^2 où a^2=1/3 et a=sqrt3/3 ou a=-sqrt3/3 puis j’ai dis que si delta était inférieur à 0 alors il n’y avait pas de points d’intersections entre C et D. Puis si delta=0 alors il existe une solution c’est à dire, -b/2(a^2+1)=4/2(1/3+1)=3/2 donc il y a deux points d’intersections, l’un qui est (3/2;sqrt3/3) et l’autre qui est (3/2;sqrt3/3). Pour finir j’ai fait delta supérieur à 0 donc deux solutions, soit
x1=(-b-sqrtdelta)/2(a^2+1)=4/3 et x2=(-b+sqrtdelta)/2(a^2+1)=3/2 autrement dit il existe deux points d’intersections qui sont (4/3;sqrt3/3) et l’autre qui est (3/2;sqrt3/3). Je vous avoue que pour le delta>0 je suis absolument pas sur des réponses que j’ai mise.



Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 13-02-2020 à 16:09:41 (S | E)
D'abord toutes mes félicitations pour toute la passion,la peine et le courage que vous aviez montrés du début jusqu'à la fin .
1)Correction et orientations:
J’ai fait delta et me retrouve donc avec 4-12a^2 où a^2=1/3 et a=sqrt3/3 ou a=-sqrt3/3 puis j’ai dis que si delta était inférieur à 0 alors il n’y avait pas de points d’intersections entre C et D.(correct-OK)
Puis si delta=0 alors il existe une solution(pour la précision solution double) c’est à dire, -b/2(a^2+1)=4/2(1/3+1)=3/2 donc il y a deux points d’intersections, l’un qui est (3/2;sqrt3/3) et l’autre qui est (3/2;-sqrt3/3)(solutions symétriques ou opposées pour a=+V3/3 ou -V3/3).
Pour finir j’ai fait delta supérieur à 0 donc deux solutions, soit
<s>x1=(-b-sqrtdelta)/2(a^2+1)=4/3 et x2=(-b+sqrtdelta)/2(a^2+1)=3/2</s>(inutile) autrement dit il existe deux points d’intersections <s>qui sont (4/3;sqrt3/3) et l’autre qui est (3/2;sqrt3/3)</s>. Je vous avoue que pour le delta>0 je suis absolument pas sur des réponses que j’ai mise.
Voici un tableau récapitulatif de toutes les résultats.Si vous aviez des questions ou des problèmes de compréhensions,n'hésitez donc pas.En meme,je m'excuse pour vous avoir laissé beaucoup attendre,mais c'était indépemment de ma volonté.En fait c'est un problème du à mon interconnexion qui était trop lourde et trop lente...



Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 13-02-2020 à 16:12:13 (S | E)





Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 13-02-2020 à 16:20:23 (S | E)

Enfin et comme je l'avais oublié de vous le dire (et le rappeler),consulter mon antécédent message du 12/02/2017 à 12h02'17" (interprétation des résultats sous forme d'une image dynamique) 
.Merci encore une fois à tiruxa et à vous .Très bonne fin de journée



-------------------
Modifié par wab51 le 13-02-2020 20:18



-------------------
Modifié par wab51 le 13-02-2020 20:21





Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 13-02-2020 à 16:21:15 (S | E)
Merci énormément, c’est adorable de votre part de m’aider !
Concernant le delta>0 je comprends pas pourquoi c’est inutile que je mette les résultats des deux solutions ?



Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 13-02-2020 à 16:25:17 (S | E)
En effet je viens de voir l’image dynamique qui est très bien réalisée et qui montre bien les points d’intersections !



Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 13-02-2020 à 17:04:36 (S | E)
Ha d’accord je comprends mieux, donc sur ma copie, ça ne sert à rien que je mette les résultats des solutions, je mets juste qu’il existe deux solutions pour delta>0



Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 13-02-2020 à 17:20:09 (S | E)

Voici encore une explication 






Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 13-02-2020 à 17:23:27 (S | E)
Ha d’accord super! Merci beaucoup !!



Réponse : Dm maths nombres complexes de wab51, postée le 13-02-2020 à 17:45:21 (S | E)
Comme vous pouvez le remarquer ,ce n'est pas comme dans le cas où delta est=0 .Dans ce cas spécifique ,la droite D est tangente à D et qu'on peut trouver comme c'est déjà fait non seulement les coordonnées des deux points tangents à C mais les deux équations respectives de D puisque "a" peut avoir deux valeurs fixes -V3/3 et +V3/3 :y=(-V3/3)*x et y=(V3/3)*x en plus d'etre symétriques par rapport à l'axe des abscisses (xx').
Je pense peut-etre que vous aviez toutes les explications nécessaires et suffisantes bien détaillées en plus d'une figure dynamique .
J'en suis personnellement certain que vous aviez très bien .Je suis content d'avoir partagé avec tiruxa et vous ses moments agréables et j'en suis ravi.Merci "A travers les discussions que jaillissent la lumière".Excellente réussite et bonne chance



Réponse : Dm maths nombres complexes de ines1, postée le 13-02-2020 à 17:49:04 (S | E)
Hé bien merci beaucoup, je vous souhaite une excellente fin de journée, et encore plein de remerciement pour ces bonnes explications de votre part ! Plein de réussite également dans votre vie




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