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Polynômes

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Polynômes
Message de determinee1 posté le 29-01-2020 à 23:19:51 (S | E | F)
Bsr!!!svp aidez moi !!
Soit le polynôme P(x)=(ax²+bx+6)(4x²+4x-3) où a et b sont des réels avec a≠0
Déterminer les réels a et b tel que -3 et 2 sont des racines de P(x)


Réponse : Polynômes de wab51, postée le 30-01-2020 à 12:30:45 (S | E)
Etant donné que -3 et 2 sont les racines de P(x) cela se traduit par P(-3)=0 et P(2)=0 .Alors ,il suffit de remplacer x par -3 dans P(x) pour obtenir une 1ère équation du 1er degré à deux inconnues a et b puis faire la même chose en remplaçant x par 2 dans P(x) et obtenir une seconde équation à deux inconnues a et b.Les deux équations ainsi obtenues forment un système de deux équations à deux inconnues a et b .
Enfin ,appliquer l'une des méthodes de résolution pour déterminer a et b.
Poster vos réponses .Bon travail et bon courage.



Réponse : Polynômes de tiruxa, postée le 30-01-2020 à 15:34:50 (S | E)
Bonjour,

Autre méthode possible :

-2 et 3 sont forcément les deux racines de ax²+bx+6 car ils ne sont pas racines de 4x² + 4x - 3.

Donc ax²+bx+6 s'écrit k(x+2)(x-3) ou encore k(x²-x-6)

On trouve alors, par identification, les valeurs de k, a et b.



Réponse : Polynômes de wab51, postée le 30-01-2020 à 16:19:23 (S | E)
Bonjour tiruxa
Si vous le permettez,il y'a une petite erreur de signe à signaler et à corriger:
c'est k(x-2)(x+3) ou encore k(x²+x-6) (les racines sont 2 et -3.



Réponse : Polynômes de tiruxa, postée le 30-01-2020 à 19:39:29 (S | E)
Bonsoir Wab51

En effet j'avais mal regardé l'énoncé, merci beaucoup pour la correcton.



Réponse : Polynômes de determinee1, postée le 30-01-2020 à 21:57:31 (S | E)
Bsr !!!Merci à tous!!
Voici ma résolution
P(-3)=9a-3b+6
P(2)=4a+2b+6
On obtient le système suivant
{9a-3b+6=0 (1) ; 4a+2b+6=0 (2)}
Si on multiplie la deuxième équation par 9/4 on obtient 9a+9/2b+27/2=0 (2)
Ensuite si on fait une soustraction on obtient b=-1 et si on remplace b dans l'équation (1) on obtient a=-1
Si on calcule normalement on trouve en effet que-3 et 2 sont bien des racines de P(×)
Par contre excusez moi mais je ne comprends pas très bien la deuxième méthode. Merci encore



Réponse : Polynômes de wab51, postée le 30-01-2020 à 22:34:57 (S | E)
Oui,votre réponse est juste:a=-1 et b=-1
Mais,on pouvait faire encore mieux en donnant la forme réduite de chacune des deux équations:
P(-3)=0 ↔ 9a-3b+6=0 ↔ 3(3a-b+2)=03a-b+2=0 (après simplification par 3 les deux membres)
P(2)=0 ↔ 4a+2b+6=0 ↔ 2(2a+b+3)2a+b+3=0
Voir que +b et -b sont de signes opposés et leur somme est nulle
*Donc par addition membre à membre des deux équations on obtient directement 5a+5=0 d'où a=-1 puis comme vous avez fait substituer -1 valeur de a dans l'une ou l'autre équation pour trouver b=-1.
(explication pour la 2ème méthode dans un instant ,le temps de rédiger ).



Réponse : Polynômes de determinee1, postée le 30-01-2020 à 22:45:02 (S | E)
Ah!! Merci beaucoup j'attends la suite avec détermination



Réponse : Polynômes de wab51, postée le 31-01-2020 à 00:26:41 (S | E)
Excuse pour ce retard ,indépendamment de ma volonté.
Que tiruxa m'excuse pour avoir pris sa place.
P(x)=(ax²+bx+6)(4x²+4x-3)
En fait ,si on revient à votre précédent raisonnement ,vous aviez commencé par faire une simplification en divisant par 21 dans la 1ére équation et par 21 dans la 2ème équation (que vous n'aviez pas écrit mais intuitivement on le sait) mais il y'avait une seconde simplification en pensant à mettre 3 en facteur pour la 1ère et 2 pour la 2me équation pour arriver à une réduction complète (voir précédent message)

Pour ne pas avoir beaucoup de peine avec le calcul ,on s’aperçoit que les racines -3 et 2 de P(x) ne sont en fait et uniquement que les racines du 1er facteur qui est le polynôme (ax²+bx+6) et non pas du second facteur qui est le polynôme 4x²+4x-3 (car -3 et 2 n'annulent pas ce dernier ,et pour chacune des deux valeurs -3 et 2 il est égal à 21 ,facteur que l'on simplifie par la suite pour obtenir équation réduite ax²+bx+6 dont les racines sont -3 et 2.Autrement dit ax²+bx+6 est un trinôme du second degré et a deux racines 2 et -3. Sachant la propriété suivante qu'un trinôme du second degré de la forme kx²+qx+c et qui possède deux racines x1 et x2 peut s'écrire sous la forme de produit de produit de facteurs k(x-x1)(x-x2) (appelée la forme factorisée )et on a l'égalité:
kx²+qx+c=k(x-x1)(x-x2).En appliquant cette propriété à cet exercice on écrira le résultat comme suit: ax²+bx+6=k(x-2)(x+3)=kx²+kx-6*k (après développement).Ensuite appliquer la propriété pour que deux polynômes soient égaux (par simple identification des termes) pour trouver les valeurs de k,a et b .
En fonction de ses explications,j'espère que vous avez compris cette 2ème méthode (peut-être même plus facile que la 1ère).
Essayez de travailler cette 2ème méthode et postez vos réponses .Bon courage et bonne continuité




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