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Encadrement-Aide

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Encadrement-Aide
Message de perfect posté le 01-12-2019 à 11:06:18 (S | E | F)
Bonjour,

Un peu d'aide sur cet exercice qui n'en finit pas
Alors, consigne : Soit x un réel tel que 3<x<5 Encadrer les réels suivants :

1)-3x+2
-9>3x>-15 (Inversion des signes, multiplication par un nombre négatif
-9+2>3x+2>-15+2
-7>3x+2>-13

2)x²-5²+1
3²<x²<5² Ici je ne suis pas sûr, x est positif puisqu'il est au carré,non même si on ne connait le signe de x, non ?
-5*3²>-5*x²>-5*5²
-5*3²+1>-5*x²+1>-5*5²+1
-44>-5*x²+1>-124

3)1/(x-2) Là je n'y arrive pas, le x me suit partout !
3/(x-2)<1/(x-2)<5/(x-2) Ici pas d'inversion de signe puisque la fraction est positive, puisque le dénominateur est positif (x est compris en 3 et 5) donc x-2 est forcément positif

4)2-((x+1)/(x-1)) Là je n'y arrive pas

Merci d'avance pour votre aide
Cordialement,
perfect


Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 01-12-2019 à 15:35:44 (S | E)
Bonjour
1)f(x)=-3x+2
3<x<5 ↔-9>3x>-15 (Inversion des signes, multiplication par un nombre négatif
-9+2>3x+2>-15+2
-7>3x+2>-13 (juste)

2)f(x)=x²-5²+1 ↔ f(x)=x²-24 (simplifier l'écriture)
3<x<5 ↔ 3²<x²<5² Ici je ne suis pas sûr, x est positif puisqu'il est au carré,non même si on ne connait le signe de x, non ?
explication:les trois nombres sont positifs et la fonction carrée f(x)=x² est positive croissante dans R+
-5*3²>-5*x²>-5*5² (la fonction donnée est bien f(x)=x²-5²+1 et non pas f(x)=-5.x²+1.N'est ce pas sinon c'est une faute d'écriture?.Revérifier bien votre fonction
-5*3²+1>-5*x²+1>-5*5²+1 (juste si la fonction donnée est f(x)=-5x²+1)
-44>-5*x²+1>-124 (juste si la fonction donnée est f(x)=-5x²+1[/bleu.

3)f(x)=1/(x-2) Là je n'y arrive pas, le x me suit partout !
3/(x-2)<1/(x-2)<5/(x-2) Ici pas d'inversion de signe puisque la fraction est positive, puisque le dénominateur est positif (x est compris en 3 et 5) donc x-2 est forcément positif.mais son inverse 1/(x-2) est est aussi positive mais décroissant pour 3<x<5.
Appliquer le meme raisonnement que dans 1) et 2) ,en partant de 3<x<5 et en utilisant en plus la propriété de l'inverse en inversant les sens de la double inégalité


4) f(x)==2-((x+1)/(x+1)) Là je n'y arrive pas
a)simplifier l'écriture de f(x) en réduisant au meme dénominateur.Puis appliquer les règles précédentes .Montrez-nous et on verra !
Bon courage



Réponse : Encadrement-Aide de perfect, postée le 01-12-2019 à 16:34:05 (S | E)
Bonjour,

Merci pour votre aide !
Alors pour la 2) en effet, c'est la bonne fonction x²-5²+1, mais j'appliqué les calculs pour l'autre fonction, donc je reprends :

2)f(x)=x²*-5²+1=x²-24
3²<x<25
9-24<x²-24<25-24
-15<x²-24<1

3)f(x)=1/(x-2)
3/(x-2)>1/(x-2)>5/(x-2)
Je ne vois pas la suite

4) f(x)=2-((x+1)/(x-1))=(2(x-1))/(x-1)-((x+1)/(x-1)= (2x-2-x+1)/(x-1)= (x-1)/(x-1) (simplificatin)=1/1=1 Donc là il suffit de multiplier par 1 ?
Donc 3<x<5 (ça change pas )

Est-ce correct ?
Cordialement,
perfect




Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 01-12-2019 à 20:12:50 (S | E)
Oui-pour les résultats de la Q-1 et la Q-2)
3)f(x)=1/(x-2)
3/(x-2)>1/(x-2)>5/(x-2)
Je ne vois pas la suite (parce que vous n'aviez pas appliquer la piste que je vous avais donné-pas grave)
a)Comme les réponses précédentes ,chercher d'abord un encadrement de (x-2) pus déduire l'encadrement de son inverse 1/(x-2) .Là attention au sens des inégalités .


4) f(x)=2-((x+1)/(x-1))=(2(x-1))/(x-1)-((x+1)/(x-1)= (2x-2-x+erreur de signe1)/(x-1)= (x-1)/(x-1) (simplificatin)=1/1=1 Donc là il suffit de multiplier par 1 ?non malheureusement)
Donc 3<x<5 (ça change pas car résultat faux)
a)Corriger l'erreur de signe ,c'est -1 et non +1.Soit donc f(x)=(x-3)/(x-1).Déterminer un encadrement de (x-3), puis celui de (x-1) puis déduire encadrement de son inverse 1/(x-1) et enfin déduire l'encadrement de f(x)?
Poster votre travail en détails.Bonne continuation et bon courage



Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 02-12-2019 à 19:18:57 (S | E)
Tout juste,pour vous dire "n'hésitez donc toujours pas à envoyer vos résultats de la Q-3) et la Q-4) .Mais surtout,je voulais attirer votre attention un peu sur la détermination de l'encadrement de la Q-4) .Bien sûr,les recommandations précédentes restent toujours valables mais on pourrait peut-être aller plus loin avec une autre méthode relative à l'étude de la fonction donnée pour aboutir à un encadrement encore plus meilleur .Bon courage



Réponse : Encadrement-Aide de tiruxa, postée le 04-12-2019 à 15:55:24 (S | E)
Bonjour,


Juste une remarque au sujet des encadrements de quotients, comme par exemple (x-3)/(x-1) avec x tel que 2<x<5

Si l'on procède en encadrant (x-3) puis (x-1) puis son inverse puis le produit des deux membre à membre... on a quelques difficultés :

En effet on a -1<x-3<2

puis 1<x-1<4 donc 1/4 < 1/(x-1) < 1

Mais là on ne peut pas multiplier membre à membre car dans le premier encadrement -1 est négatif.

Ok on pourrait envisager deux cas d'une part x-3 négatif puis x-3 positif mais c'est laborieux...

Le mieux est de transformer le quotient de départ pour que la variable x n'y figure qu'une seule fois.

On écrit (x-3)/(x-1)= (x-1-2)/(x-1)=(x-1)/(x-1)-2/(x-1)= 1 -2/(x-1).

Si on reprend, on a vu que 1/4 < 1/(x-1) < 1

donc en multipliant par -2 , -2 < -2/(x-1) < -1/2

et en ajoutant 1 , -1 <1 -2/(x-1) < 1/2.

On obtient de plus le meilleur encadrement possible.



Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 10-12-2019 à 12:48:30 (S | E)

Bonjour
Excellente méthode et répond parfaitement à la question de l'exercice de l'exemple traité qui pour une autre méthode la solution peut être pratiquement laborieuse et difficile mais il m'a semblé intéressant de préciser qu'en se référant à l'exercice dont il est question dans la Q-4,il est peut-être un peu mieux bien différant.On peut déjà observer qu'elle se distingue par des doubles inégalités de même sens et le meilleur encore avec des membres positifs ce qui laisse entendre que l'enchaînement des calculs ne se pose que sur la mesure de bien savoir tenir compte de ses priorités dans les calculs .Quand à l'encadrement d'un quotient ,la règle est stricte "on ne peut jamais diviser deux encadrements de même sens ,on doit utiliser l'inverse si on est dans R+".Enfin et vue la question elle-même qui n'impose aucune condition sur son encadrement,offre plusieurs possibilités de raisonnement pour admettre que toute réponse peut être considérée comme juste si ce n'est par la différence de leurs amplitudes.En plus ,une bonne observation de l'écriture de f avec f(x)=2-(x+1)/(x-1) n'est pas un fait du hasard pour aider à induire le sens du raisonnement dans les priorités des opérations soit f(x)=2-(x+1)*(1/(x-1)).(explications plus précises et de mise au point dans la suite de mon prochain message.Merci





Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 10-12-2019 à 13:30:14 (S | E)
1)1ère méthode "encadrement"
encadrement de f(x)=2-((x+1)/(x-1)) tels que 3<x<5 ?
3<x<5 ↔ 4<x+1<6 (1)
3<x<5 ↔ 2<x-1<4 ↔ 1/4 <1/(x-1) < 1/2 (2)
de (1) et (2) on a 4*(1/4)<(x+1)*1/(x-1)<6*(1/2) ↔ 1<(x+1)/(x-1)<3 ↔ -3<-(x+1)/(x-1)<-1 ↔ -3+2<2-(x+1)/(x-1)<-1+2 ↔ -1<2-(x+1)/(x-1)<1 ↔ -1<f(x)<1
avec une amplitude =1-(-1)=2 .Méthode juste mais beaucoup moins efficace .
2)2ème méthode "Etude de fonction f"
f'(x)=2/(x-1)² .Pour tout x=]3,5[ f((x)>0 donc f est strictement monotone positive croissante sur ]3,5[.Par conséquent f sera majorée par sa valeur pour la borne supérieure f(5)=1/2 et sera minorée par sa valeur pour la borne inférieure de f(3)=0 donc 0<f(x)<1/2 avec une amplitude
=1/2=0,5 .Méthode juste ,bien efficace et plus précise .La méthode donne le plus petit meilleur encadrement.
3)3ème méthode "celle déjà faite par tiruxa:"forme canonique de f"
f(x)=2-((x+1)/(x-1))=(x-3)/(x-1)=1-2*1/(x-1) .Appliquer le même raisonnement et on obtient 0<f(x)<1/2.Méthode juste ,rigoureuse et souple .
4ème méthode :"méthode graphique" (voir en dessous de ce message).Merci



Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 10-12-2019 à 13:32:24 (S | E)

4)Solution graphique 


 


 Merci 






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