Vecteurs 2nde

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Vecteurs 2nde
Message de perfect posté le 09-11-2019 à 18:20:48 (S | E | F)
Bonsoir

Je rencontre quelques soucis sur cet exercice.
Précision : Je ne parle pas de longueur par conséquent, AB, CD..sont tous des vecteurs.
Énoncé : ABC est un triangle, E un point tel que : AE=1/3 BC, I un point tel que CI= 2/3 CB et F un point tel que AF = 1/3 AC.
1) Faire une figure. On prendra AB=5cm, BC=6cm et AC = 7,5cm. Je l'ai faite sur ma feuille.
2) Montre que IE= BA et IF= 2/3 BA
Mon travail : Pour prouver que IE= BA, j'essaie de prouver que AE=BI et que par conséquent, cela forme un parallélogramme et on retrouve alors IE=BA.
Je n'ai pas trouvé d'autre moyens que cela :
BI=BC+CI
BI= 3AE-(2/3 BC)
BI= 3AE-2AE
BI=AE

Pour IF= 2/3 BA, je n'ai pas réussi à trouver.
3) En déduire que les points I, E, et F sont alignés.

Merci d'avance pour les réponses apportées.
Cordialement,
perfect

Réponse : Vecteurs 2nde de wab51, postée le 09-11-2019 à 19:54:51 (S | E)
Bonsoir

Réponse : Vecteurs 2nde de wab51, postée le 09-11-2019 à 20:08:13 (S | E)
Pour la 2ème question
D'après la question précédente ,on déduit que le quadrilatère AEIB est un parallélogramme donc (AB)\\(IE) et AB=IE.
Appliquer la réciproque du théorème de Thalès .

Réponse : Vecteurs 2nde de perfect, postée le 09-11-2019 à 22:00:57 (S | E)
Bonsoir,

Merci pour votre réponse.
Donc AB= EI en tant que vecteurs, vous parliez bien des longueurs AB et IE dans votre message, n'est-ce pas ?
Merci de m'avoir guidé sur la réciproque de Thalès.

2) On a : BC/ IC = AF/ FI (Edit: ceci est le théorème, et pas la réciproque puisque nous nous n'avons pas assez de valeurs , on sait juste que (BA) et (IF) sont parallèles)
Donc FI = 4*5/6=3.333...
De ce fait, puisque le vecteur BA est colinéaire à IE, et que nous avons bien la longueur FI = 2/3 AB, nous avons bien BA(vecteur)= 2/3 BA (vecteur)
Est-ce correct ?
Dans mes cours, soit deux vecteurs u (x,y) et v(x',y') colinéaires, on a u=kv et donc le coefficient se calcule par une division de coordonnées (soit d'abscisses, soit d'ordonnées) (après avoir déterminé que le déterminant (u,v)=0), on a x/x'=k
Ici k est déterminé par le rapport de longueur ?

3) Je n'arrive pas à expliquer pourquoi F est à l'intersection des droites (AC) et (EI), de ce fait je ne peux pas répondre, merci de m'éclairer.

Merci d'avance,
perfect

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Modifié par perfect le 09-11-2019 22:02

Réponse : Vecteurs 2nde de perfect, postée le 09-11-2019 à 22:12:43 (S | E)
Je tente une nouvelle hypothèse pour la 3)
En fait pour prouver qu'ils sont alignés, je ne peux pas juste dire que AB et FI sont colinéaires, il faut qu'il y ait un point en commun.
Donc je peux dire que IF est colinéaire à AB et que IE aussi par conséquent IF et IE sont colinéaires et là je prouve qu'ils sont alignés.
D'après la question 2) On a IE = BA donc ces deux vecteurs sont colinéaires et on a IF=2/3 BA donc IF et BA sont colinéaires, donc IE est colinéaire à IF donc I,E et F sont bien alignés

Réponse : Vecteurs 2nde de wab51, postée le 10-11-2019 à 12:07:14 (S | E)

Réponse : Vecteurs 2nde de perfect, postée le 10-11-2019 à 15:04:04 (S | E)
Merci pour votre réponse.
Edit : Erreur d'analyse, nous pouvons utiliser la réciproque de Thalès avec les segments BC et AC :
AF=1/3 AC
Nous sommes dans une configuration triangle du théorème de Thalès:
AF =1/3*7.5= 2.5 cm FI = AC-AF = 7.5-2.5= 5cm
CI/CB= 4/6 = 0.66667cm
CF/CA = 5/7.5 = 0.66667cm
Comme CI/CB=CF/CA,que les droites (AC) et (BC) sont sécantes en C et que les points A,F,C sont alignés dans le même ordre que les points B,I,C ; les droites (AB) et (IF) sont parallèles.

On a donc IF= AB*CF/CA=5*5/7.5= 3.3333cm

En revanche, y'a t-il une loi qui détermine qu'ici le coefficient k 2/3 que l'on doit montrer peut être déterminé par un rapport de longueur ?

3) pour reprendre : On résulte de cette réciproque(IF)\\(AB), d'après la question 2 encore, on sait que (AB)\\(IE), par transivité (je reprends vos termes), on déduit que (IF)\\(IE) et que ces deux droites ont un points en commun, les deux droites sont confondues et donc les points I,F et E sont alignés.

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Modifié par perfect le 10-11-2019 15:04

Réponse : Vecteurs 2nde de wab51, postée le 10-11-2019 à 18:08:11 (S | E)
Correction
Edit : Erreur d'analyse, nous pouvons utiliser la réciproque de Thalès avec les segments BC et AC :(bien sûr!
AF=1/3 AC (c'est une donnée et pour en faire quoi?
Nous sommes dans une configuration triangle du théorème de Thalès:
AF =1/3*7.5= 2.5 cm calcul inutile!FI = AC-AF = 7.5-2.5= 5cm ( inutile et plus c'est faux car les points ne sont pas alignés)
CI/CB= 4/6 (d'où vient ce résultat? si l'on sait déjà que CI=(2/3)*CB et par conséquent CI/CB=2/3 = 0.66667cmpas de valeur approchée donc faux)
CF/CA = 5/7.5(simplifier le calcul pour trouver le rapport exact 2/3 voir simplement et directement que CF=2/3 d'où CF/CA=2/3 = 0.66667cm faux avec meme remarque que précédemment)
Comme CI/CB=CF/CA,que les droites (AC) et (BC) sont sécantes en C et que les points A,F,C sont alignés dans le même ordre que les points B,I,C ; les droites (AB) et (IF) sont parallèles.(oui)
On a donc (faux mais d'où ???) IF= AB*CF/CA=5*5/7.5= 3.3333cm résultat non justifié est un résultat faux!? et pour faire quoi avec ce calcul injustifié..

Sachez bien que l'application de la réciproque du th. de Thalés sert à montrer le parallélisme de deux droites avec la seule égalité de deux premiers rapports.Ce qui nous a permis ensuite de déduire que les points I,F et E sont alignés.Et c'est à partir de là,qu'on peut chercher à montrer que vect IF=(2/3).vec BA .Voici la démonstration : vec IF = vec IC + vec CF =(2/3).vec BC + (2/3).vec CA = (2/3).(vec BC + vec CA)=(2/3).vec BA.Voilà,j'espère qu'avec tous ses détails ,et les choses sont au plus claires.Bonne compréhension et bon travail.

Réponse : Vecteurs 2nde de perfect, postée le 10-11-2019 à 18:36:23 (S | E)
Bonjour,

Ahhh d'accord, tout s'éclaire à présent ! Je n'avais pas compris qu'il fallait d'abord montrer que les points I,F et E pour chercher à démontrer que IF=(2/3).vec BA.

A présent, je comprends que je ne dois pas utiliser de valeurs approchées, le 4/6 venait du fait que la longueur CI= 4cm et la longueur CB= 6cm, mais j'avais conscience que les longueurs ne pouvaient pas déterminés le coefficient (2/3) d'où la question.

Le AF=1/3 AC sert à prouver que CF/CA=2/3
Calcul : CF=CA+AF
CF=CA-(1/3).vec CA
CF=2/3. vec CA

Est-ce correct ?

Merci d'avance de votre réponse détaillée.
Cordialement,
perfect

Réponse : Vecteurs 2nde de wab51, postée le 10-11-2019 à 22:13:08 (S | E)
Vous mélangez les écritures entre l'écriture vectorielle et l'écriture des longueurs ???
CF=CA-(1/3).vec CA (égalité fausse -différence entre une longueur et un vecteur donne une longueur???????nouveau???
CF=2/3. vec CA (meme remarque )???
Observez bien la dernière figure .Un point F se situe à 1/3 de l'extrémité A du segment [AC].A quelle distance (ou longueur ) se trouve ce même point F de l'autre extrémité C de ce segment [AC]?
écriture en fonction des longueurs s'écrit :FC=(2/3)*AC
écriture vectorielle :vecFC=(2/3).vecAC .Merci .

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Modifié par wab51 le 10-11-2019 22:14

Réponse : Vecteurs 2nde de perfect, postée le 10-11-2019 à 22:52:48 (S | E)
Bonsoir,

J'ai voulu reprendre votre écriture. Par maladresse, je ne l'ai pas appliqué partout. Je parlais bel et bien de vecteurs...

Oui, instinctivement, le point F se trouve par rapport à l'extrémité C à deux tiers de la longueur du segment AC, je voulais juste le montrer par un calcul vectoriel et non pas en fonction des longueurs..
On sait que que vecAF= -(1/3).vecAC
vecCF=vecCA+vecAF
vecCF= vecCA-(1/3).vecCA
vecCF= (2/3).vecCA

Merci,
perfect

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Modifié par perfect le 10-11-2019 22:53

Réponse : Vecteurs 2nde de wab51, postée le 11-11-2019 à 17:23:17 (S | E)
Apprendre c'est aussi comprendre .Vous pouviez être content du fruit de votre travail .Félicitations .

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