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Base de V

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Base de V
Message de nounous posté le 31-03-2019 à 17:10:38 (S | E | F)
Bonjour. Petit problème

On dit : Soit (i,j)vecteur une base de V.
Démontrer que le couple (u,v)vecteur est une base de V dans chacun des cas:

1)(u,v)=(2i,-j)

Merci de m'expliquer le raisonnement et je ferai sûrement les autres.
Cordialement

-------------------
Modifié par nounous le 31-03-2019 17:11




Réponse : Base de V de lemagemasque, postée le 31-03-2019 à 20:03:27 (S | E)

Bonjour,


Je vous fais plusieurs rédactions alternatives :


1) Soit e un élément de V.
Alors e peut s'écrire comme une combinaison unique des vecteurs i et j, ie il existe un unique couple (je suppose que l'on est avec des R-ev) tel que 


Or, u = 2i et v = -j


Donc


On pose et alors il existe un unique couple tel que


Donc (u,v) est une base de V.


2) Soit eV.


Alors e se décompose de façon unique comme une combinaison linéaire de i et de j : il existe un unique couple (je suppose que l'on est avec des R-ev) tel que 


Or, u = 2i et v = -j


Donc


On pose et alors il existe un unique couple tel que


Donc (u,v) est une base de V.


Idée-clé : Dans une base, tout élément se décompose (1) de façon unique (2) : une famille est une base si elle est libre (2) et génératrice (1).
1) On considère le R-espace vectoriel alors la famille {(1,0)} n'est pas une base car elle n'est pas génératrice de : en effet, le vecteur (1,1) ne peut pas s'écrire comme une combinaison linéaire de l'unique vecteur de la base.


2) Toujours dans , E={(1,1),(2,2)} n'est pas non plus une base car (2,2)=2*(1,1) : E n'est pas libre.


Bonne journée !





Réponse : Base de V de libniz, postée le 31-03-2019 à 21:39:47 (S | E)
(U,V)=(2i,-j) signifie que u=2i et v=-j.
(i,j) étant une base, alors les vecteurs i et j sont non colinéaires. Ainsi, comme u est colinéaire à i, et v est colinéaire à j, alors (u,v) est aussi une base.



Réponse : Base de V de lemagemasque, postée le 31-03-2019 à 22:37:32 (S | E)
Libniz : Tu as montré que (u,v) était libre, mais tu n'as pas montré qu'elle était aussi génératrice.
Pour ce côté là, il suffit de dire que le cardinal de (u,v) est égal au cardinal de (i,j), autrement dit, (u,v) contient autant de vecteurs que (i,j).

Une autre variante est de considérer Vect {i,j}
(i,j) est une base de V donc V = Vect {i,j} = Vect {2i,-j} (car le Vect d'un ensemble est l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de cet ensemble)
Or Vect {2i,-j} = Vect {u,v}
Donc (u,v) est génératrice de V.
De plus, dim V = 2 car (i,j) est une base de V.
Donc (u,v) est une base de V.




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