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Géométrie dans l'espace (2)

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Géométrie dans l'espace (2)
Message de bourich62 posté le 29-11-2018 à 11:56:27 (S | E | F)
Bonjour, voici un nouvel exercice que j'essaye de faire
merci pour votre participation.

On considère un pavé droit ABCDEFGH ci-dessous.

(je vais essayer de vous le représenter ci dessous)


E------F
K
AI----B
(face de la figure)

H------G
D------C
(derrière de la figure)

On a J appartenant à AD et AJ=1


AB=6cm AD=4cm AE=2cm.
I, J, K sont les points tels que :
AI=1/6AB (vecteur)
AJ =1/4AD (vecteur)
AK=1/2 AE .(vecteur)
On se place dans le repère orthonormé (A;AI ;AJ ;AK) .

1 –
a) Déterminer les coordonnées des points I, J et G.

I(1;0;0)
J(0;1;0)
G(6;4;2)
b) Déterminer les coordonnées des vecteurs IJ etIG , sont-ils colinéaires ?
Coordonnées de IJ : (-1;1;0)
Coordonnées de JG : (-1;4;2)
Donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car aucun réel k vérifie IJ= k IG.

2 – Déterminer une équation du plan (IJG).

une équation au plan à la forme de
ax+by+cz+d=0

je n'arrive pas à aller plus loin ici

3 – En déduire que le vecteur ⃗u de coordonnées (2 ; 2 ; -9) est normal au plan (IJG).

Ici j'ai besoin de la question précédente pour pouvoir le déduire

4 – Déterminer les coordonnées du point d'intersection W du plan (IJG) et de la droite (BF) à l'aide
d'une représentation paramétrique de la droite (BF)

Merci pour votre aide



Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de wab51, postée le 30-11-2018 à 17:26:36 (S | E)

2)Déterminer une équation du plan IJG?
Méthode:
2-a)Déterminer les coordonnées du vecteur normal au plan IJG?
Il existe un unique plan passant par les trois points non alignés I,J et G.a)Choisir deux vecteurs non colinéaires par exemple vec.IJ et vec.IG.b)Désigner par vec.N(a,b,c) le vecteur normal au plan IJG. Ce vecteur normal est normal à chacun des deux vecteurs vec.IJ et vec.IG .Appliquer la propriété analytique (on obtient deux équations à trois inconnues a,b et c.Résoudre ce système en donnant une valeur arbitraire pour l'une des inconnues par exemple a=2 pour trouver les deux autres valeurs solutions de b et c ?
2-b)Détermination de l'équation du plan IJG?
*L'équation du plan IJG est :ax+by+cz+d=0 .Remplacer a,b et c par leurs valeurs trouvées précédemment dans 2-a).Pour trouver d ,il suffit de remplacer dans l'équation du plan x,y et z par les coordonnées de l'un des points I,ou J ou G ?(car si un point appartient à un plan alors les coordonnées de ce point vérifient cette équation )
Faites minutieusement ce travail et on verra la suite .
Bonne chance et bonne continuation .



-------------------
Modifié par wab51 le 30-11-2018 18:09





Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de wab51, postée le 30-11-2018 à 17:28:17 (S | E)

Voici,une figure qui pourra encore vous aider 


 






Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de bourich62, postée le 01-12-2018 à 10:55:14 (S | E)
Bonjour,

voici mon travail :

Donc j'utilise les deux vecteurs vecIJ et vecIG.
Je nomme le vecn le vecteur normal à IJ, et le vecm le vecteur normal à IG.
J'obtiens : vecn=(-a;b;0) et vecm(-a;4b;2c)
Ainsi, il me suffit de résoudre le système suivant :
-a+b=0
-a+4b+2c=0
je prend a=2
donc je trouve b=2 et c=-3
Ainsi, l'équation du plan est : 2x+2y-3c+d=0
pour calculer d, j'utilise le point I.
2+0-0+d=0
Ainsi, d=-2
et l'équation du plan IJG= 2x+2y-3z-2=0



Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de bourich62, postée le 01-12-2018 à 11:09:17 (S | E)
J'attends votre retour pour continuer



Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de wab51, postée le 01-12-2018 à 14:27:40 (S | E)
Une simple vérification de l'équation du plan IJG :2x+2y-3z-2=0 peut prouver que cette dernière est fausse parce que les coordonnées de I(1,0,0)et
J(0,1,0)vérifient bien cette équation mais pas celles de G(6,4,2)et par conséquent il y a une erreur de calcul au début et quelque part.

"Donc j'utilise les deux vecteurs vecIJ et vecIG.
Je nomme le vecn le vecteur normal à IJ, et le vecm (le vecteur normal à IG.(erreur de frappe peut-etre,on ne choisit qu'un seul vecteur normal n)
J'obtiens : vecn=(-a;b;0) et vecm(-a;4b;2c)on obtient pas les composantes ,mais deux équations à partir du produit scalaire des deux vecteurs dont l'une est vecn.vecIJ=0 ce qui donne une 1ère équation -a+b=0,et pour la seconde ,je vous laisse faire?pour trouver la bonne réponse de cette seconde équation
Ainsi, il me suffit de résoudre le système suivant :
-a+b=0
-a+4b+2c=0 "de ce qui précède ,corriger l'erreur et continuer en conservant le même raisonnement.Bonne route.



Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de bourich62, postée le 01-12-2018 à 16:10:07 (S | E)
Je n'ai pas fait d'erreur de frappe, je pensais que chaque vecteur avait son vecteur normal.
du coup on cherchant, je me suis rendue compte que j'ai fait une erreur sur le vecIG.
En effet, celui ci a pour coordonnée (5;4;2) et non (-1;4;2) (j'ai mal écrit sur mon brouillon et j'ai confondu mon 6 avec un 0...........)

vecIJ.vecn=0 donc -a+b=0
ainsi, vecIG.vecn= 5a+4b+2c=0

je cherche les solutions de ce système
a=2 donc b=2 et ainsi c=-9

ainsi, l'équation du plan est 2x+2y-9z+d=0
pour calculer d, j'utilise le point G
2*6+2*4-9*2+d=0
12+8-18+d=02
20-18=-d
2=-d
d=2

Ainsi, l'équation du plan IJG est : 2x+2y-9z-2=0

En déduire que le vecteur n (2;2;-9) est normal au plan IJG.
On voit bien que les coordonnées du vecteur sont ceux de l'équation du plan IJG.




Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de wab51, postée le 01-12-2018 à 17:48:58 (S | E)
Parfait-rien à dire .
2)Recherche de l'équation paramétrique (BF)?
Appliquer "La droite (BF) est l'ensemble des points M(x,y,z) pour lesquels il existe un nombre réel t tel que vec.BM=t.vec.BF" .
Il suffit de traduire cette relation de colinéarité sous forme de trois équations x=f(t),y=f(t) et z=f(t) (f(t):en fonction de t).



Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de bourich62, postée le 01-12-2018 à 19:20:06 (S | E)
ça fait plaisir de réussir une question

Alors pour la suite ça se complique.

J'ai calculé le vecteur BF
je trouve vec BF = (0;0;2)

donc nous cherchons vecBM=t*vecBF

Donc on peut déduire que le point M aura pour coordonnées x=0 et y=0 comme le vecteur BF.
Reste à trouver les coordonnées de z.
En appliquant la formule de mon cours (z=za+k(zb-za)) ; je trouve : z=0+k(2) donc z=2k.

Mais je n'arrive pas à aller plus loin malheureusement.



Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de wab51, postée le 01-12-2018 à 20:35:49 (S | E)

Avec la piste que je vous ai donné ,vous devriez y arriver facilement .Appliquer " A quelles conditions deux vecteurs sont égaux ?Lorsque leurs coordonnée respectives sont égales ,ainsi:






Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de bourich62, postée le 02-12-2018 à 11:56:03 (S | E)
Si je cherche à montrer que vecBm=t*vecBF, alors il faut que t*(0;0;2)=vecBM soit (0t;0t;2t)
C'est bien ça ?
Du coup grâce à ça je cherche les coordonnées du point M (appelé W dans l'énoncé)
Ainsi vecBM=(0;0;2t) soit (0-0;0-0;et ...-...=2t)
Je n'arrive toujours pas a avancé malgré votre aide



Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de bourich62, postée le 02-12-2018 à 11:56:03 (S | E)
Si je cherche à montrer que vecBm=t*vecBF, alors il faut que t*(0;0;2)=vecBM soit (0t;0t;2t)
C'est bien ça ?
Du coup grâce à ça je cherche les coordonnées du point M (appelé W dans l'énoncé)
Ainsi vecBM=(0;0;2t) soit (0-0;0-0;et ...-...=2t)
Je n'arrive toujours pas a avancé malgré votre aide



Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de wab51, postée le 02-12-2018 à 13:01:08 (S | E)

Vous dites "Si je cherche à montrer que vecBm=t*vecBF"?
Vous n'aviez rien compris de ce que je vous avais expliqué et demandé de faire "relisez bien message précédent du 1/12/2018".Il n' y a nullement question de comprendre "à chercher à démontrer" (c'est faux).Tout ça pourquoi?parce que je pense que vous laissez de coté la question ?
On cherche à déterminer les coordonnées du point d'intersection W(x_o;y_o;z_o) du plan IJG et de la droite (BF)?
Vous aviez bien trouvé l'équation du plan IJG. Il vous faut évidemment chercher ensuite à déterminer l'équation paramétrique de la droite (BF),pour arriver ensuite à former un système d'équations qu'i faut résoudre pour obtenir les coordonnées du point d'intersection W :x_o=?,y_o=? et z_o=?






Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de bourich62, postée le 02-12-2018 à 13:21:12 (S | E)
En effet je ne comprends bien bien...
du coup je recommence !

Donc je cherche le système pour que déterminer les égalités
je trouve que :
x=6-k(6-6)=6
y=0
z=2t
puis j'ajoute l'équation du plan :
2x+2y-9z-2=0

Ainsi je résouds :

2*6+2*0-9*2t-2=0
12-18t-2=0
10=18t
t=10/18=5/9

Ainsi, les coordonnées du point W sont (6;0;5/9*2=10/9)




Réponse : Géométrie dans l'espace (2) de wab51, postée le 02-12-2018 à 13:52:20 (S | E)
Excellent,très bon travail. .Très bonne journée




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