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'La zone de baignade'

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'La zone de baignade'
Message de skywel posté le 11-09-2018 à 14:16:50 (S | E | F)
Bonjour ! Mon professeur de mathématiques m'a donnée un DM à faire, j'ai réussi le premier exercice mais sur le 2eme je suis complètement perdu, alors je viens implorer votre aide ! ^^ Voici l'énoncé :

Les moniteurs d'un centre aéré disposent d'une ligne de bouchons de 60m pour créer une zone rectangulaire de baignade surveillée au bord de la mer.
(C'est un rectangle MNPQ) Le côté [MQ] est le bord de la plage supposé bien droit et les trois autre côté correspondent à une ligne flottante.

Question : Déterminer les dimensions du rectangle pour que l'air de la zone de baignade soit maximale.

Merci de me repondre afin de m'éclaircir !


Réponse : 'La zone de baignade' de wab51, postée le 11-09-2018 à 16:56:16 (S | E)

Bonjour
Une figure géométrique est nécessaire .Elle pourra beaucoup vous aider à réfléchir et voir plus clair . 


   Attendons une petite initiative de votre part pour continuer . Sachez que la superficie du rectangle (zone de baignade en bleu) est le produit de la longueur L par la largeur x . Pour cela exprimer la longueur L en fonction de x ? Puis exprimer l'aire MNPQ en fonction de x ?(Vous tombez sur un polynome du second degré en x (Et là ,il faut savoir son cours).Bonne continuation .Transmettez vos résultatas 



-------------------
Modifié par wab51 le 11-09-2018 17:10





Réponse : 'La zone de baignade' de wab51, postée le 11-09-2018 à 16:59:20 (S | E)

La figure ne s'est pas apparue dans mon précédent message .Là ,voici 


 






Réponse : 'La zone de baignade' de skywel, postée le 11-09-2018 à 19:21:21 (S | E)
J'avais un schéma sur mon devoir mais je n'ai pas réussi à le mettre sur mon message, je suis sur portable... Merci de votre réponse, Et en l'attendant j'ai essayé d'avancer dans mes recherches :

Aire = L * l
Soit x, la longueur et y la largeur.

Aire = x*y
Périmètre : 2x+ 2y = 60+x
x+2y=60
x+y=30
y=30-x

On peut remplacer y dans l'expression de l'Aire
Aire = x(30-x)
= -x^2+30x

Je me suis arrêté ici Pour l'instant !




Réponse : 'La zone de baignade' de skywel, postée le 11-09-2018 à 20:19:02 (S | E)
Je me suis maintenant dit qu'il faut que j'étudie les variations de la fonction, mais je ne vois pas à quel moment je peux calculer les dimensions du rectangle ?



Réponse : 'La zone de baignade' de janus, postée le 11-09-2018 à 21:26:10 (S | E)
Bonjour,


On te parle d'Aire MAXIMALE, quand te parle-t-on de "maximum" avec une fonction? Quel outil utilises-tu?

Tu y es presque!



Réponse : 'La zone de baignade' de wab51, postée le 12-09-2018 à 00:21:19 (S | E)

Attention .Il y'a une faute de raisonnement (60+x) ne représente pas le périmètre du rectangle .La ligne de bouchon telle donnée dans l'énoncé et qui figure bien sur la figure représente la ligne rouge uniquement c'est à dire le double de la largeur (2*x) plus la longueur (y) soit 60=2x+y .
1)Refaites donc le calcul en exprimant la longueur y en fonction de la largeur x comme vous l'aviez fait tout en tenant compte du meme raisonnement de calcul puis donnez nous l'aire du rectangle en fonction de x uniquement ?et je le rappelle "vous trouvez une fonction du second degré en x"sous forme développée :f(x)=ax²+bx. qui est exprime évidemment l'aire du rectangle.


2)Pour quelle valeur de x, cette aire serait-elle maximale?
Comme je vous l'avait déjà dit ,c'est tout simplement une question de cours .Pensez simplement à réécrire la fonction f sous sa forme canonique :
f(x)=a( x-α )² + β .Comme a<0 ,alors f admet un maximum égale à ... pour x=?
3)Connaissant la valeur x de la largeur ,déduire la valeur de la longueur y?


 





Réponse : 'La zone de baignade' de wab51, postée le 12-09-2018 à 10:53:05 (S | E)


Bonjour 
Pour illustrer vos résultats ,voici la courbe représentative Cf de la fonction f (l'aire en fonction de la largeur x)qui est une parabole de sommet S(α,β) à titre indicatif simplement . 


 


 





Réponse : 'La zone de baignade' de skywel, postée le 12-09-2018 à 16:42:59 (S | E)
Merci ! J'ai donc essayé de me corriger :

Aire = L * l
Soit x, la largeur et y la longueur.

Aire = x*y
Périmètre de la ligne de bouchons : 60m

Soit : 60=2x+y
30=x+y
y=30-x

On peut remplacer y dans l'expression de l'Aire :
Aire = x(30-x)
= -x^2+30x


Cette fonction est du type ax^2+bx+c avec a=-1, b=30, c=0, donc c'est une fonction polynôme du second degré.


Cherchons maintenant sa forme canonique :
\alpha = (-b)/2a = -30/-2 = 15 et Beta = f(alpha) = -15^2+30*15= -225+450=225


J'ai changé mon raisonnement comme tu me l'as conseillée wab51 mais j'arrive à la même fonction du second degré à la fin.

-------------------
Modifié par skywel le 12-09-2018 17:23





Réponse : 'La zone de baignade' de wab51, postée le 12-09-2018 à 19:48:58 (S | E)
*Correction
Soit : 60=2x+y (juste)
30=x+y (faux-il suffit simplement de basculer le terme 2x du second membre vers le 1er membre avec changement de signe pour trouver que y=60-2x ,n'est ce pas!!! encore une fois ,n'allez pas trop vite pour ne pas faire d'erreurs) .
2)Ecrire l'expression de f(x) en fonction de x ?
3)Calculer la valeur de alpha=? puis celle de béta=?
béta est la valeur maximale de l'aire MNPQ et qui est atteinte en x=valeur de alpha .
Autrement dit : béta=alpha * y d'ou y=béta/alpha

(j'avais un problème de connexion depuis plus d'une heure .A chaque fois,tout ce que j'écrivais s'effaçait et à chaque fois je reprenais...)



Réponse : 'La zone de baignade' de skywel, postée le 12-09-2018 à 22:12:18 (S | E)
Ne vous inquiétez pas, c'est deja tres gentil de votre part de prendre votre temps pour me repondre ;)

Exact... Je reprends :

2) 60=2x+y
60-2x=y

Aire MNPQ = x(60-2x)
=-2x^2+60x

3) Alpha = -60/-4 =15 Et Beta = 450
L'Aire maximale sera donc de 450m2 Pour x= 15m
Rappelons que 60-2x=y donc y, soit la longueur est égal à 30.
Le rectangle à donc 2 côté de 15m Et 1 côté de 30m pour une aire de 450m2

J'espère que cette fois ci c'est un peu plus correct !^^





Réponse : 'La zone de baignade' de wab51, postée le 12-09-2018 à 23:17:15 (S | E)
Le rectangle à donc 2 côté de 15m Et 1 côté de 30m pour une aire de 450m2
Pour bien répondre à la question ,vaut mieux peut-être dire "l'aire de la zone rectangulaire de baignade est maximale pour une longueur égale à 30m et une largeur égale à 15m".
Bravo. et excellente réussite .

2ème méthode en utilisant "la forme canonique"bien connue et la plus utilisée :α
f(x)=x(60-2x) forme "produit de deux facteurs
f(x)=-2x²+60x forme développée
f(x)=-2(x²+30x)=-2[(x-15)² -225]=-2(x-15)² +450 et c'est bien sous la forme f(x)=a(x-α)² +β avec a=-2 ,α=15 et β=450
Ainsi ,et étant donné que que le coefficient a=-2 est négatif ,l'aire maximale est 450m² atteint pour la largeur x=15m .
Content de vous .Bonne chance et bonne nuit




Réponse : 'La zone de baignade' de skywel, postée le 13-09-2018 à 10:41:39 (S | E)
Merci wab51 de m'avoir aidée, j'aurais eu beaucoup plus de Mal sans vous !

Encore merci !



Réponse : 'La zone de baignade' de wab51, postée le 13-09-2018 à 11:27:05 (S | E)
Je vous en prie,il n'y a pas de quoi .Et Très bonne journée .




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