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Équation

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Équation
Message de libniz posté le 26-07-2018 à 14:10:04 (S | E | F)
Bonsoir. S'il vous plait j'aimerai savoir comment résoudre une équation de la forme a^x=x^b. Avec a et b des entiers naturels, et x l'inconnu. (Comme 6^x=x^5). Le symbole ^ indique l'exposant. Merci pour votre aide.


Réponse : Équation de puente17, postée le 26-07-2018 à 17:35:57 (S | E)
Bonjour,
a^x =x^b
xlna = blnx
x=(b/lna) lnx
posons b/lna =h
et étudions la fonction x - hlnx = f(x) etc.

exemple:
si h = 1
f(x) = x - lnx
f'(x) = ?
tableau de variations?
conclusion: l'équation n'a pas de solution.

En prenant: 6^x = x^5 on aura h = 5/ln6
étude de la fonction
sauf erreur de ma part f(h) est négatif et donc il existera 2 solutions dont les valeurs approchées peuvent se calculer par programmation (par dichotomie par exemple, mais il y a des programmes qui convergent plus rapidement (cf Euler je crois), malheureusement il ne m'en reste pas grand chose





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