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Formules de trigonométrie (1ère S)
Relation fondamentale:
Pour tout a réel, cos²a+sin²a=1
I-Formules d'addition
Pour tous réels a et b,
cos (a+b) = cosa cosb - sina sinb
cos (a-b) = cosa cosb + sina sinb
sin (a+b) = sina cosb + sinb cosa
sin (a-b) = sina cosb - sinb cosa
II-Formules de duplication
cos (2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a-1 = 1-2sin²a
sin (2a) = 2 sina cosa
Remarque : Ces formules peuvent être retrouvées grâce aux formules d'addition en prenant a = b
Exemple : cos (2a) = cos (a+a)= cosa cosa - sina sina = cos²a - sin²a = cos²a - (1-cos²a) = 2cos²a -1 (d'après la formule fondamentale)
III- Applications
Considérons un triangle quelconque ABC dont les côtés sont notés : a=BC ; b=AC ; c=AB et les angles A ; B ; C
Les formules d'Al kashi sont les suivantes :
a²=b²+c² - 2bc cos A
b²=a²+c² - 2ac cos B
c²=a²+b² - 2ab cos C
Son aire S vaut :
S= (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B = (1/2)ab sin C
Dans le QCM suivant il est conseillé de se munir d'un brouillon et nécessaire de connaître les sinus et cosinus de certaines valeurs remarquables.
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