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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°49126 : Fonction avec exponentielles (Terminale)




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Fonction avec exponentielles (Terminale)


La fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien

Rappels :

  • La fonction exponentielle est définie sur R, dérivable sur R, strictement croissante sur R

sa fonction dérivée est égale à elle-même : exp'=exp

exp(0) = 1 et exp(1) = e

Pour tout x réel, avec e peu différent de 2.71828

pour tout réel x, exp(x)>0

  • La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[, dérivable sur ]0; +∞[, strictement croissante sur ]0; +∞[

Sa fonction dérivée est la fonction inverse

ln 1 = 0 et ln e = 1

  • Ces deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre :

pour tout x réel,

pour tout x>0, exp(ln(x))=

  • Ci-dessous on donne la courbe de la fonction exponentielle, la courbe de la fonction logarithme népérien et la droite d'équation y=x
Les courbes des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x

  • propriétés algébriques (exponentielles): pour tout x et y réels, on a

  • propriétés algébriques (logarithmes): pour tout x et y réels strictement positifs, et tout réel r on a





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On considère la fonction définie sur R par =e2x - ex
1° calcul de

alors
=e2 ln(1/3) - eln(1/3)= - =

2° calcul de l'image de ln(1/9) :
=exp() - exp()=

3° la fonction dérivée est définie par ' (x)=
on peut factoriser l'expression de la dérivée et ' (x)=
La dérivée s'annule en x=

4° On peut factoriser l'expression de et on trouve =

5° La courbe de coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées








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