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PGCD & PPCM (retrouver les nombres de départ)

THÉORIE :


Lors d'exercices sur le PGCD et le PPCM, on donne généralement des nombres (2 au minimum), et il faut trouver leur PGCD et leur PPCM par différentes méthodes (déjà expliquées très clairement sur ce site).


Rappels :

1) On considère ici la méthode des produits de facteurs premiers : on divise les nombres donnés successivement par des nombres premiers (divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes) dans un ordre croissant.
Exemple : Trouver le PGCD et le PPCM de 36 et 84.
En appliquant la division décrite ci-dessus, on trouve :
* 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
* 84 = 2 x 2 x 3 x 7.
Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12.
Le PPCM est le produit du PGCD par le reste des facteurs non communs (en noir) donc 12 x 3 x 7 = 252.

2) Nombres premiers entre eux : Ce sont des nombres qui ont un et un seul diviseur commun : 1. Ces nombres sont généralement des nombres premiers ou des nombres consécutifs.
Exemples :
* 3 et 7 sont premiers entre eux car ce sont des nombres premiers.
* 4 et 5 sont premiers entre eux car ce sont des nombres consécutifs.


Méthode :

En analysant le PPCM, on remarque qu'il est le produit du PGCD et de 2 nombres premiers entre eux (par exemple, 3 x 7).

Grâce à cette constatation, nous allons pouvoir, uniquement avec le PGCD et le PPCM, retrouver les 2 nombres de départ !
Il arrive cependant qu'il existe plusieurs possibilités, c'est-à-dire plusieurs couples de nombres ayant les mêmes PGCD et PPCM.

Exemple 1 : Retrouver les 2 nombres dont le PGCD est 12 et le PPCM est 252.
1re étape : Quel nombre faut-il multiplier par 12 pour obtenir 252 ?
                        252 / 12 = 21 (car PPCM = PGCD x reste des facteurs non communs).
2e étape : Quels nombres premiers entre eux ont pour produit 21 ?
                        3 et 7 (le couple 1x21 ne peut être retenu car 1 et 21 ne sont pas des premiers entre eux).
3e étape : Il ne reste plus qu'à multiplier le PGCD par chacun des nombres premiers entre eux pour obtenir 12 x 3 = 36, et 12 x 7 = 84.

Exemple 2 : Trouver les 2 nombres qui ont pour PGCD 8, et 144 comme PPCM.
1re étape : 144 / 8 = 18 (reste des facteurs premiers non communs).
2e étape : 18 = 2 x 9 (3x6 n'est pas acceptable car 3 et 6 ne sont pas premiers entre eux).
3e étape : Les nombres de départ sont 2 x 8 = 16, et 9 x 8 = 72.
Vérification : 16 = 2x2x2x2 = 8 x 2, et 72 = 2x2x2x9 = 8 x 9. D'où le PGCD = 8, et le PPCM = 8 x 2x9 = 144.



EXERCICE :

Trouver les couples de nombres (DANS L'ORDRE CROISSANT) dont le PGCD et le PPCM sont donnés.

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1. Avec un PGCD de 14 et un PPCM de 84, les nombres de départ sont 28 et .

2. Avec un PGCD de 2 et un PPCM de 240, les nombres de départ sont 6 et .

3. Avec un PGCD de 4 et un PPCM de 240, les nombres de départ sont 12 et .

4. Avec un PGCD de 4 et un PPCM de 40, les nombres de départ sont 8 et .

5. Avec un PGCD de 3 et un PPCM de 105, les nombres de départ sont 15 et .

6. Avec un PGCD de 10 et un PPCM de 420, les nombres de départ sont 20 et .

7. Avec un PGCD de 8 et un PPCM de 48, les nombres de départ sont 16 et .

8. Avec un PGCD de 6 et un PPCM de 36, les nombres de départ sont 12 et .

9. Avec un PGCD de 11 et un PPCM de 132, les nombres de départ sont 33 et .

10. Avec un PGCD de 8 et un PPCM de 160, les nombres de départ sont 32 et .