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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°58579 : Equations de plans de l'espace - cours

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Equations de plans de l'espace - cours


L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;I;J)

1. Équations de plans de l'espace

Dans l'espace, tout plan admet une équation du type ax+by+cz=d où a, b, c et d sont des constantes réelles telles que  b et c ne sont pas tous nuls

et réciproquement, toute équation de ce type est associée à un plan.

Cas particuliers :

Si a=0, alors le plan est parallèle à l'axe des abscisses

Si b=0, le plan est parallèle à l'axe des ordonnées

Si c=0, le plan est parallèle à l'axe des côtes

Exemples : ci-dessous, on a représenté un cube en perspective cavalière

est un repère orthonormé de l'espace

Dans ce repère, le plan de base (xOy) contient la face ABCD du cube; ce plan a pour équation z=0 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oy) donc b=0; il contient l'origine A(0; 0; 0) donc d=0)

Le plan parallèle à (xOy) qui contient la face EFGH a pour équation z=1 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oy) donc b=0; il contient G(1; 1; 1) donc c=d )

Le plan (CDH), parallèle au plan de base (xOz), a pour équation y=1 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oz) donc c=0; il passe par H(0;1;1) donc b=d )

Le plan (ACG) a pour équation x-y=0 (il est parallèle à (Oz) donc c=0; il contient A(0; 0; 0), C(1; 1; 0), G(1; 1; 1), E(0; 0; 1), S(1; 1; 3/2) ... )

Le plan parallèle au plan (ACG) passant par R(0; 2; 1) a pour équation x-y=-2


2. Position relative de deux plans de l'espace

Deux plans sont:
- soit parallèles (strictement parallèles ou bien confondus)
- soit sécants et leur intersection est une droite


Les pages d'un livre ouvert peuvent représenter des plans sécants

L'intersection de deux plans dans l'espace peut être :
- un plan
(dans le cas où les plans sont confondus)
- une droite (dans le cas où les plans sont sécants)
- l'ensemble vide (dans le cas où les plans sont strictement parallèles)





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L'ensemble des points vérifiant l'équation est coupant l'axe des abscisses au point , coupant l'axe des ordonnées au point et coupant l'axe des cotes au point

L'ensemble (E) des points vérifiant l'équation est L'intersection de (E) avec l'axe des abscisses est et l'intersection de (E) avec l'axe des ordonnées est

L'ensemble des points vérifiant le système est

L'ensemble des points vérifiant l'équation est

L'ensemble des points vérifiant le système est








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