Créer un test
Connectez-vous !

Cliquez ici pour vous connecter
Nouveau compte
4 millions de comptes créés

100% gratuit !
[Avantages]


- Accueil
- Accès rapides
- Aide/Contact
- Livre d'or
- Plan du site
- Recommander
- Signaler un bug
- Faire un lien



Publicités :




Recommandés :
- Traducteurs gratuits
- Jeux gratuits
- Nos autres sites
   

Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°45109 : Équations de degré 2 (niveau Première) - cours

> Plus de cours & d'exercices de maths (mathématiques) sur le même thème : Equations [Autres thèmes]
> Tests similaires : - Fonction et ensemble de définition - Equations 1er degré - Equation (1er degré) - Equation du second degré - Matrices (1-Addition) - Valeur absolue d'un nombre (niveau première) - Solutions complexes d'une équation de degré 2 - Equations équivalentes
> Double-cliquez sur n'importe quel terme pour obtenir une explication...


Équations de degré 2 (niveau Première) - cours


I. Une équation de degré 2, d'inconnue x, sous forme développée,

s'écrit ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres connus avec a≠0


Résoudre dans ℝ une équation d'inconnue x, c'est trouver les solutions réelles, c'est-à-dire les valeurs des réels x qui rendent l'égalité correcte.

Exemple: 3x² - 2x - 5 = 0 est une équation de degré 2.

  • En remplaçant x par 1 dans 3 x² - 2x - 5, on obtient - 4.

Le nombre 1 ne rend pas l'égalité correcte.
Donc 1 n'est pas une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

  • Tandis que, en remplaçant x par - 1 dans 3x² - 2x - 5, on obtient 0.

Le nombre - 1 rend l'égalité correcte.
Donc - 1 est une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

II. RÉSOUDRE l'ÉQUATION de degré 2,

ax²+ bx + c = 0 avec a≠0

procédure

On calcule le DISCRIMINANT b² - 4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure :

Δ = b²-4ac

si Δ > 0 (son signe est +)

on peut conclure :

l'équation a deux solutions réelles

calcul de ces solutions:

Δ, positif, est le carré d'un nombre, soit Δ = r²

si Δ = 0

on peut conclure :

l'équation a une solution unique réelle

calcul de cette solution :


si Δ < 0 (son signe est -)

on peut conclure :

l'équation n'a aucune solution réelle

Exemples :


a) x² + x + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = - 3; Δ est négatif et non nul.

Donc l'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solution dans ℝ

b) - x² + x + 30 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = 1² - 4(-30) = 121;

Δ est positif non nul, et Δ est le carré de 11.

Donc l'équation - x² + x + 30 = 0 admet 2 solutions dans ℝ

Calcul de ces solutions :


donc l'équation - x² + x + 30 = 0 a pour solutions - 5 et 6

III. CAS PARTICULIERS

Dans certains cas, il n'est PAS UTILE de CALCULER Δ

Exemple 1:

x² - 5x = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre x² - 5x.

x² - 5x = x(x - 5) quelle que soit la valeur donnée à x

donc les solutions de x² - 5x = 0 sont identiques aux solutions de x(x - 5) = 0

On dit que les équations x² - 5x = 0 et x(x - 5) = 0 sont équivalentes.

On peut alors appliquer le théorème d'un produit de facteurs égal à 0

'L'un des facteurs est nul'

donc x = 0 ou x - 5 = 0 et il n'y a pas d'autre solution.

Les nombres 0 et 5 sont donc les seules solutions de l'équation x² - 5x = 0

Exemple 2:

169 - x² = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre 169 - x².

169 - x² = 13² - x² = (13 - x)(13 + x) quelle que soit la valeur donnée à x

donc l'équation 169 - x² = 0 est équivalente à (13 - x)(13 + x) = 0

'L'un des facteurs est nul'

d'où les nombres 13 et - 13 sont les seules solutions de l'équation 169 - x² = 0

Exemple 3:

16 + x² = 0 est une équation de degré 2 et on ne sait pas FACTORISER le membre 16 + x².

L'équation 16 + x² = 0 est équivalente à x² = - 16

'Le carré d'un réel est positif ou nul'

d'où l'équation 16 + x² = 0 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels

Exemple 4:

- 2x² + 16x - 32 = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre - 2x² + 16x - 32.

- 2x² + 16x - 32 = - 2(x² - 8x + 16) = - 2 (x - 4)² quelle que soit la valeur donnée à x

Ici on a reconnu une identité remarquable : 'a² - 2ab + b² = (a - b)²'

donc l'équation -2x² + 16x - 32 = 0 est équivalente à -2(x - 4)² = 0

'L'un des facteurs est égal à 0'

seul l'un des facteurs (x - 4) peut être égal à 0; donc x = 4 et il n'y a pas d'autre solution.

Le nombre 4 est donc la seule solution de l'équation -2x² + 8x - 32 = 0

Remarque : si on avait calculé le discriminant de - 2x² + 16x - 32, on aurait trouvé Δ = 0.

Retenir: à chaque fois que l'on obtient pour discriminant 0, on aurait pu factoriser !





Avancé Tweeter Partager
Exercice de maths (mathématiques) "Équations de degré 2 (niveau Première) - cours" créé par anonyme avec le générateur de tests - créez votre propre test !
Voir les statistiques de réussite de ce test de maths (mathématiques)

Merci de vous connecter au club pour sauvegarder votre résultat.


Le polynôme x² - 5x + 4 a pour discriminant

L'équation x² - 5x + 4 = 0 a pour ensemble de solutions

Le polynôme x² - 5x a pour discriminant

Le polynôme 2x² - 5x - 7 a pour discriminant

L'équation 2x² - 5x - 7 = 0 a pour solutions

L'équation x² - 6x + 8 = 0 a pour solutions

L'équation x² + 1 = 0 admet solution(s)

L'équation x² = x - 2 admet-elle exactement deux solutions réelles distinctes ?

L'équation 4- x² = 2x² + x - 2 admet-elle exactement deux solutions réelles distinctes ?

Le nombre d'or, , est-il la seule solution positive de l'équation x² = x + 1 ?









Fin de l'exercice de maths (mathématiques) "Équations de degré 2 (niveau Première) - cours"
Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques). (tags: equation )
Tous les exercices | Plus de cours et d'exercices de maths (mathématiques) sur le même thème : Equations



Partager : Facebook / Google+ / Twitter / ... 


> INDISPENSABLES : TESTEZ VOTRE NIVEAU | NOS MEILLEURES FICHES | Fiches les plus populaires | Aide/Contact

> COURS ET TESTS : Arithmétique | Avec cours | Calculs | Calculs littéraux | Conversions | Enfants | Equations | Fonctions | Fractions | Géométrie | Jeux | Nombres | Nombres relatifs | Opérations | Plusieurs thèmes | Problèmes | Statistiques | Tests de niveaux

> INFORMATIONS : - En savoir plus, Aide, Contactez-nous [Conditions d'utilisation] [Conseils de sécurité] Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions) | Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice. | Mentions légales / Vie privée / Cookies .
| Cours et exercices de mathématiques 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès.