 |
> Plus de cours & d'exercices de maths (mathématiques) sur le même thème : Equations [Autres thèmes] |
| > Tests similaires : - Fonction et ensemble de définition - Equations 1er degré - Equation (1er degré) - Equation du second degré - Valeur absolue d'un nombre (niveau première) - Matrices (1-Addition) - Solutions complexes d'une équation de degré 2 - Racines d'un polynôme | |
| > Double-cliquez sur n'importe quel terme pour obtenir une explication... |
Équations de degré 2 (niveau Première) - cours
I. Une équation de degré 2, d'inconnue x, sous forme développée,
s'écrit ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres connus avec a≠0
Résoudre dans ℝ une équation d'inconnue x, c'est trouver les solutions réelles, c'est-à-dire les valeurs des réels x qui rendent l'égalité correcte.
Exemple: 3x² - 2x - 5 = 0 est une équation de degré 2.
- En remplaçant x par 1 dans 3 x² - 2x - 5, on obtient - 4.
Le nombre 1 ne rend pas l'égalité correcte.
Donc 1 n'est pas une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0
- Tandis que, en remplaçant x par - 1 dans 3x² - 2x - 5, on obtient 0.
Le nombre - 1 rend l'égalité correcte.
Donc - 1 est une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0
II. RÉSOUDRE l'ÉQUATION de degré 2,
ax²+ bx + c = 0 avec a≠0
procédure
On calcule le DISCRIMINANT b² - 4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure :
Δ = b²-4ac | ||
si Δ > 0 (son signe est +) on peut conclure : l'équation a deux solutions réelles calcul de ces solutions: Δ, positif, est le carré d'un nombre, soit Δ = r² | si Δ = 0 on peut conclure : l'équation a une solution unique réelle calcul de cette solution : | si Δ < 0 (son signe est -) on peut conclure : l'équation n'a aucune solution réelle |
Exemples :
a) x² + x + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = - 3; Δ est négatif et non nul.
Donc l'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solution dans ℝ
b) - x² + x + 30 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = 1² - 4(-30) = 121;
Δ est positif non nul, et Δ est le carré de 11.
Donc l'équation - x² + x + 30 = 0 admet 2 solutions dans ℝ
Calcul de ces solutions :
donc l'équation - x² + x + 30 = 0 a pour solutions - 5 et 6
III. CAS PARTICULIERS
Dans certains cas, il n'est PAS UTILE de CALCULER Δ
Exemple 1 :
x² - 5x = 0 est une équation de degré 2 et on peut FACTORISER le membre x² - 5x.
x² - 5x = x(x - 5) quelle que soit la valeur donnée à x
donc les solutions de x² - 5x = 0 sont identiques aux solutions de x(x - 5) = 0
On dit que les équations x² - 5x = 0 et x(x - 5) = 0 sont équivalentes.
On peut alors appliquer le théorème d'un produit de facteurs égal à 0
'L'un des facteurs est nul'
donc x = 0 ou x - 5 = 0 et il n'y a pas d'autre solution.
Les nombres 0 et 5 sont donc les seules solutions de l'équation x² - 5x = 0
Exemple 2 :
169 - x² = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre 169 - x².
169 - x² = 13² - x² = (13 - x)(13 + x) quelle que soit la valeur donnée à x
donc l'équation 169 - x² = 0 est équivalente à (13 - x)(13 + x) = 0
'L'un des facteurs est nul'
d'où les nombres 13 et - 13 sont les seules solutions de l'équation 169 - x² = 0
Exemple 3 :
16 + x² = 0 est une équation de degré 2 et on ne sait pas FACTORISER le membre 16 + x².
L'équation 16 + x² = 0 est équivalente à x² = - 16
'Le carré d'un réel est positif ou nul'
d'où l'équation 16 + x² = 0 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels
Exemple 4 :
- 2x² + 16x - 32 = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre - 2x² + 16x - 32.
- 2x² + 16x - 32 = - 2(x² - 8x + 16) = - 2 (x - 4)² quelle que soit la valeur donnée à x
Ici on a reconnu une identité remarquable : 'a² - 2ab + b² = (a - b)²'
donc l'équation -2x² + 16x - 32 = 0 est équivalente à -2(x - 4)² = 0
'L'un des facteurs est égal à 0'
seul l'un des facteurs (x - 4) peut être égal à 0; donc x = 4 et il n'y a pas d'autre solution.
Le nombre 4 est donc la seule solution de l'équation -2x² + 8x - 32 = 0
Remarque : si on avait calculé le discriminant de - 2x² + 16x - 32, on aurait trouvé Δ = 0.
Retenir : à chaque fois que l'on obtient pour discriminant 0, on aurait pu factoriser !
Avancé 
Tweeter PartagerExercice de maths (mathématiques) "Équations de degré 2 (niveau Première) - cours" créé par anonyme avec le générateur de tests - créez votre propre test !
Voir les statistiques de réussite de ce test de maths (mathématiques)
Merci de vous connecter à votre compte pour sauvegarder votre résultat.Fin de l'exercice de maths (mathématiques) "Équations de degré 2 (niveau Première) - cours"
Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques).
Tous les exercices | Plus de cours et d'exercices de maths (mathématiques) sur le même thème : Equations
