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Construction d'une figure et démonstration avec vecteurs (seconde)

On a construit à l'aide du logiciel MathGraph32, la figure suivante à partir du tracé d'un triangle ABC quelconque

Répondre aux questions
Dans les questions 1, 2 et 3, on décrit la figure pour retrouver les données de l'énoncé

Dans la question 4, on raisonne pour démontrer un résultat

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1. O est le centre du cercle circonscritcentre du cercle inscrit; c'est le point d'intersection des médianeshauteursmédiatrices
2. H est l'orthocentrele centre de gravité; c'est le point d'intersection des hauteursmédianesmédiatrices
3. D est le miroirle symétriquel'opposé de ABC par rapport à AHBCO
4. On veut démontrer que les vecteurs sont égaux
a) Pour prouver que , on va démontrer que le quadrilatère BDCHBHDCBCD est un rectangleparallélogrammecerf-volant
b) ADC est un triangle rectangle en C car il est inscrit dans le cercle de diamètrevecteursegment [AD]
On en déduit que la droite (CD) et la droite (AC) sont perpendiculaires.
Alors les droites (BH) et (DC) sont confonduesperpendiculairesparallèles
c) le triangle ABD est un triangle rectangle en Hisocèlerectangle en B
On en déduit que les droites (BD) et (BH)(AB) sont perpendiculaires et comme (CH) et (BH)(AB) sont confonduesparallèlesperpendiculaires, on en déduit que les droites (BD) et (CH) sont parallèlesperpendiculairesconfondues
Conclusion: le quadrilatère BDCH est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèlesconfonduesperpendiculaires


Conclusion: on a prouvé que