Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°58186 : Fonctions et calcul littéral - cours de maths (mathématiques)

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Fonctions et calcul littéral - cours de maths (mathématiques)

1. Notion de fonction. Image d'un nombre par une fonction
x désigne un réel

On dit d'une expression qui dépend du nombre x, qu'elle est donnée en fonction de x; cette expression peut être considérée comme l'image d'un nombre x par une fonction de R dans R

Par exemple:
$\red{x^{2}-1,\;\; \frac{x-1}{2x}\;\; x+\frac{x-1}{x+2}}$ sont des expressions qui dépendent de x; chacune d'elles définit une fonction

2. Calcul d'images
Le plus souvent, si on donne une valeur précise à x, on peut calculer son image par la fonction

Par exemple:
En posant: $\red{f(x)=x^{2}-1,\;\;et \;\; g(x)=\frac{x-1}{2x}\;\;et \;\;h(x)= x+\frac{x-1}{x+2}}$ et en donnant la valeur $\red{x=3}$ , on peut calculer $\red{f(3)=3^{2}-1=8,\;\;et \;\; g(3)=\frac{3-1}{2\times 3}=\frac {1}{3}\;\;et \;\;h(3)= 3+\frac{3-1}{3+2}=3+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}}$

En donnant la valeur $\red{x=1}$ , on peut calculer $\red{f(1)=1^{2}-1=0,\;\;et \;\; g(1)=\frac{1-1}{2\times 1}=0\;\;et \;\;h(1)= 1+\frac{1-1}{1+2}=1+0=1}$

3. Notion d'ensemble de définition

En donnant la valeur $\red{x=0}$ , on peut calculer $\red{f(0)=0^{2}-1=-1,\;\;et \;\;h(0)= 0+\frac{0-1}{0+2}=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}}$
mais on ne peut pas calculer $\red {g(x)}$ pour $\red{x=0}$ car $\red {g(x)}$ n'existe pas lorsque $\red{x=0}$ . Puisque 0 n'a pas d'inverse, il est impossible d'effectuer une division par 0

On dira que 0 est une valeur interdite pour la fonction g
On dira aussi que g n'est pas définie en 0
On dira encore que l'ensemble de définition de g est l'ensemble R privé de 0, ensemble que l'on note R-{0}

On retient que 'diviser par 0 est impossible' et que pour savoir sur quel ensemble est défini un quotient (ne comportant ni racines carrées, ni logarithmes), on cherche les valeurs qui annulent les dénominateurs

Exemples:
L'ensemble de définition de g est R-{0}; l'ensemble de définition de f est R et l'ensemble de définition de h est R-{-2}

TEST: Écrire chaque expression sous forme de quotient factorisé, en précisant l'ensemble de définition

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1° $Soit \;\; f(x)=x-\frac {1}{ x}$
a) L'ensemble de définition est

b) $f(x)=x-\frac{1}{x}=$

2° $Soit \;\; f(x)=x+1+\frac {1}{ x-1}$
a) L'ensemble de définition est

b) $f(x)=x+1+\frac{1}{ x-1}=$

3° $Soit \;\; f(x)=-5x^{2}+\frac{1}{5}$
a) L'ensemble de définition est

b) $f(x)=-5x^{2}+\frac{1}{ 5}=$

4° $Soit \;\; f(x)=2x-3+\frac {6}{x+2}$
a) L'ensemble de définition est

b) $f(x)=2x-3+\frac {6}{x+2}=$

5° $Soit \;\; f(x)=2x-1+\frac {1}{1-x}$
a) L'ensemble de définition est

b) $f(x)=2x-1+\frac {1}{1-x}=$

6° $Soit \;\; f(x)=3x-\frac {3x}{5-2x}$
a) L'ensemble de définition est

b) $f(x)=3x-\frac {3x}{5-2x}=$

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