Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°124987 : Equation du troisième degré (niveau bac)

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Equation du troisième degré (niveau bac)

Certains exercices du baccalauréat proposent de résoudre des équations du troisième degré (dans R ou C) du type

$P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

où a, b, c et d sont des réels voire des complexes.

Parmi toutes les méthodes possibles, une des plus simples consiste à chercher une solution $\alpha$ dite "évidente " du genre 1,-1, ... et de mettre P(x) sous la forme

$(x-\alpha)(Ax^{2}+Bx+C)$

On trouve A, B et C en développant l'expression et en identifiant avec les coefficients de P(x).

Il suffit alors de chercher les solutions de l'équation $Ax^{2}+Bx+C=0$ (calcul du discriminant $\Delta$ et des racines $\frac{-B+-\sqrt[]{\Delta}}{2A}$ ) pour obtenir les 3 solutions recherchées.

Applications :

Il est souvent proposé ensuite des équations logarithmiques ou exponentielles de même degré du genre

$a(lnx)^{3}+b(ln)^{2}+clnx+d=0$ ou

$ae^{3x}+be^{2x}+ce^{x}+d$ =0

On pose alors X=lnx ou X= $e^{x}$ pour se servir de la résolution effectuée précédemment.

Mais !!!! ln(x) n'est défini que pour x positif et $e^{x}$ est toujours positif donc éliminer des possibilités si besoin.

Pour terminer, quelques petits rappels :

$ln(e^{x})=e^{lnx}=x$

$(e^{a})^{b}=e^{ab}$

ln1=0 et lne=1

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Q1 x étant un réel, soit $P(x)=2x^{3}-x^{2}-5x-2$ .
On cherche à résoudre dans l'ensemble R des réels l'équation P(x)=0.
Une solution évidente de cette équation est $\alpha$ =

Q2 On peut écrire P(x) sous la forme $P(x)=(x-\alpha)(ax^{2}+bx+c)$ avec
a=

b=

c=

Q3 Les solutions de l'équation P(x)=0 autres que $\alpha$ sont donc dans l'ordre croissant
x=

et x= .

Q4 Résoudre dans R l'équation suivante : $2(lnx)^{3}-(lnx)^{2}-5lnx-2=0$ .
Les solutions sont dans l'ordre croissant
x=

x=

et x= .

Q5 Résoudre dans R l'équation suivante : $2exp^{2x}-exp^{x}-5-2exp{-x}=0$ .
Je commence par multiplier les deux membres de l'équation par .

En me servant de ce qui a été fait précédemment j'en déduis que l'équation a solution(s)

et que l'une d'entre elles est x= .

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