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[Maths] Aire partielle.
Message de marie11 posté le 09-04-2007 à 10:49:19 (S | E | F | I)

Bonjour.

Dans un précédent sujet, je vous avais proposé de partager un gâteau triangulaire, en parties égales, et j'avais énoncé une proprité particulière de la médiane.

Dans l'exercice que je soumets à votre sagacité on retrouve la médiane, et on généralise cette propriété particulière.

Voici l'énoncé :

On considère un tiangle ABC dont l'aire est 240 cm².

On désigne par M le milieu de [AC], et le point N est tel que AB = 3.AN, autrement dit AN est le TIERS de AB.

Les segments [BM] et [CN] se coupent en K.

QUESTION :

Quelle est l'aire du quadrilatère ANKM ?


Réponse: [Maths] Aire partielle. de magstmarc, postée le 09-04-2007 à 23:38:51 (S | E)
Je crois avoir trouvé une solution mais un peu "lourde", il y a sûrement plus court et plus élégant.
Appelons G le point de [BM] tel que BG/BM=2/3 (c'est le centre de gravité de ABC)
Alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (GN)//(AC)
On a des triangles semblables : BNG et BAM d'une part (rapport 2/3)
GNK et KMC d'autre part (rapport : GN/MC = GN/AM = 2/3 aussi)
Aire de BNG = (4/9) x Aire de ABM = (4/9)x(1/2)xAire de ABC car la médiane coupe le triangle en deux triangles de même aire.
Donc Aire de BNG = 160/3.
Aire de GNK = (4/9) x Aire de KMC
Aire de KMC + Aire de ANKM = (1/3) x 240 = 80
(En effet ANC et ABC ont la hauteur issue de C en commun et les bases correspondantes AN et AB dans un rapport 1/3.)
Aire de GNK + Aire de ANKM = Aire de ABM - Aire de BNG = 200/3.
Des 3 dernières égalités on tire Aire de GNK = 24 cm²
d'où Aire de ANKM = 56 cm², si je ne me suis pas trompée dans tous ces calculs !

pour l'exercice.


Réponse: [Maths] Aire partielle. de marie11, postée le 21-04-2007 à 14:41:24 (S | E)
Bonjour.

ATTENTION ! Les figures 1 et 2 sont dans le post suivant.

Que faut-il savoir pour résoudre ce problème ?

I- Dans tout triangle une sécante quelconque issue d'un sommet partage ce triangle en deux triangles dont les aires sont proportionnelles aux segments délimités sur le côté opposé.

Voici l'explication :
Figure 1
Les triangles ABM et AMC ont la même hauteur [AH].
X = aire de ABM = (AH x BM)/2
Y = aire de AMC = (AH x MC)/2
En divisant membre à membre on a :


II-

Sur la figure proposée on trace le segment [MN].
Figure 2
On désigne par :
x l'aire du triangle AMN
y l'aire du triangle NKM
z l'aire du triangle NKC
t l'aire du triangle MKB
u l'aire du triangle CKB

On a x+y+z = 120cm²([CM] médiane)
D'autre part puisque NC = 2NA alors z+y = 2x, il s'ensuit que x =40cm² et z+y = 80cm²
On a aussi
MK/KC= y/z = t/u = (y+t)/(z+u)= 40/160 =1/4 ([NM] est une médiane du triangle ANB)
Ainsi z = 4y d'où 5y = 80cm² et y = 16cm²

L'aire de ANKM est égale à x+y soit 40cm² + 16cm² = 56cm².


Réponse: [Maths] Aire partielle. de marie11, postée le 21-04-2007 à 14:45:18 (S | E)
Figure 1 :



Figure 2 :






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