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Probleme ancien d'algebre 3

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Probleme ancien d'algebre 3
Message de alcoretmizar posté le 26-01-2020 à 14:28:04 (S | E | F)
Bonjour à tous,

J'ai encore un souci avec un vieux probleme d' algebre que j'apprécié faire .

Voici l'énoncé ;

Pour 605 francs, un marchand achète des moutons, les uns à 9 francs pièce, d'autres à 10 francs et d'autres à 11 francs.
Sur 12 moutons, il y en a 4 de la première espèce, 3 de la seconde et 5 de la troisième.

Combien le marchand a-t-il acheté de moutons de chaque espèce ?


J'aurai aimé savoir si, il était possible de trouver le résultat avec un système à 3 inconnues.
Mais,après moult heures de reflexion, je n'y suis pas arrivé.
Impossible de trouver 3 équations différentes.
Soit, ça me bouche les yeux, soit il y en a pas. (Ce qui me surprend...) avec toutes les données qu'on nous donne .


J'ai bien trouvé le résultat avec une autre méthode;

Soit x le nombre de moutons de la première espèce
Soit y le nombre de la deuxième espèce
Soit z le nombre de la troisième espèce

12 moutons lui rapporte 121 francs
(4×9)+(3×10)+(5×11) = 121francs

Le rapport pour x est de (121/36)

Donc, le prix total de la 1ère espèce est de 605/(121:36) = 180 francs

Par conséquence, x = 180:9 = 20 moutons

Pour les 2 autres espèces, on utilise la même méthode.

Mais, j'aurai bien voulu savoir avec celle d'un système.
Si il y en à une, bien sûr...



Merci à la personne qui pourrait bien m'expliquer.


Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de puente17, postée le 26-01-2020 à 17:19:40 (S | E)
Bonjour,
ici ça ne mérite pas de mise en équation, d'ailleurs ne n'est pas à mon avis l'intention de l'auteur.
Ton début est bien mais tu compliques un peu.
Combien de 'paquets' de 12 moutons y a-t-il pour une somme de 605€?




Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de chakib1956, postée le 26-01-2020 à 18:57:51 (S | E)
Prix d'achat d'une douzaine :
Nombre de douzaines:
Donc le nombre de douzaines est 5.
Resultat final:
Premier groupe de moutons = 4x5= 20 moutons.
Deuxieme groupe de moutons = 3x5 = 15 moutons.
Troisième groupe de moutons = 5x5 = 25 moutons.
Verification:
20x9 + 15x10 +25x11= 180+150+275=605 francs.



Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de alcoretmizar, postée le 26-01-2020 à 21:23:24 (S | E)
Bonsoir, "puente17 " et "chakib1956"

Merci d' avoir pris du temps à répondre à ma question, c'est très gentil à vous.

donc si je fais le bilan; 605 : 121 = 5 ; le "nombre de paquet de 12" , c'est vrai, ça simplifie pour le reste.

et on ne peut pas arriver au resutat par système, dommage ...

Bonne soirée à vous. à +





Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de wab51, postée le 26-01-2020 à 22:00:00 (S | E)
Bonsoir
Il s'agit d'une situation de proportionnalité entre "prix et nombre de moutons".Les deux grandeurs varient dans le même rapport.
605/121=N/12 (N=nombre total des moutons) soit N=5*12=60 (moutons)
Pour trouver le nombre de moutons de chaque espèce ,il suffit de multiplier par 5 :
1ère espèce :5*4=20 ; 2ème espèce:5*3=15 et enfin 3ème espèce:5*5=25 .Merci



Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de alcoretmizar, postée le 26-01-2020 à 22:29:45 (S | E)
Bonsoir,"wab51" c'est vrai que jusqu'à maintenant j'était persuadué que lorsqu'on avait un exercice avec trois inconnues impliquait automatiquement , la recherche de trois formules pour faire un système.
Et j'étais fixé sur ça . C'est pour cette raison que j'étais dans l'impasse. Je me coucherai moins bête, ce soir.
La prochaine fois que je tomberais sur un problème de ce style ,je penserai aussi à la proportionnalité.
Merci et bonne semaine...



Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de wab51, postée le 26-01-2020 à 22:37:42 (S | E)
Oui,je suis parfaitement d'accord avec vous et d'ailleurs c'est ce que j'avais deviné .Cette fois ,c'est encore beaucoup plus facile .Mais vous aviez déjà trouvé par vous même les réponses ,c'est déjà beaucoup de choses.Félicitations .Bonne nuit



Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de chezmoi, postée le 26-01-2020 à 23:30:02 (S | E)
Il existe 2 solutions.

Pour 605 francs, un marchand achète des moutons, les uns à 9 francs pièce, d'autres à 10 francs et d'autres à 11 francs.
A) Cela indqiue au maximum : 605 / 9 > 67 et au minimum : 605/11 = 55
Sur 12 moutons, il y en a 4 de la première espèce, 3 de la seconde et 5 de la troisième.
b) Il y a 12, 24, 36, 48, 60…. parce qu'il faut en proportion 5 : 3 : 4
A et B Donc il y a 60 moutons
Les 12 coûtent 605/5 = 121 francs

Il y a 6 combinaisons de prix (en théorie)


1re esp 2e esp 3e esp total
nombre 4 3 5
1 prix 9 10 11 121 - solution 1
2 prix 9 11 10 119
3 prix 10 9 11 122
4 prix 10 11 9 118
5 prix 11 9 10 121 - solution 2
6 prix 11 10 9 119


Il existe 2 solutions:

Sol 1 il achète : 9 1re, 10 2e et 11 3e
Sol 2 11 1re 9 2e et 10 3e

-------------------
Modifié par chezmoi le 26-01-2020 23:31





Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de wab51, postée le 27-01-2020 à 15:58:00 (S | E)

Bonsoir chezmoi
Effectivement ,il n'y a devant le marchand que deux combinaisons possibles pour choisir les prix respectifs par tête de chaque espèce soit 9F,10F et 11F ou soit 11F,9F et 10F car ce sont les deux uniques possibilités qui répondent à la condition intrinsèque de proportionnalité entre prix et le nombre à la douzaine de moutons pour une somme de 605F.C'est pourquoi ,soit dans l'une ou l'autre combinaison ,la solution du nombre de moutons par espèces est unique (20,15,25).(voir tableau explicatif-quelque soit la combinaison ,la somme de 605F lui apportera toujours 20 de la 1ère,15 de la 2ème et 25 de la 3ème espèce,donc il n'est jamais perdu et c'est la seule solution du problème).


 Bien cordialement et un grand merci à vous .





Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de wab51, postée le 29-01-2020 à 15:28:46 (S | E)
Bonjour alcoretmizar
Il me semble bien de vous signaler que votre résultat"12 moutons lui rapporte 121 francs, (4×9)+(3×10)+(5×11) = 121francs" est tout à fait juste mais sans le démontrer ou le justifier :"ce qui affirme sans preuve peut être nier sans preuve".Ce résultat n'est pas si évident ,c'est pourquoi,je vois que la meilleure méthode à répondre rigoureusement et facilement à la question de l'exercice est "la méthode par encadrement "pour éviter l'embarras d'un long calcul de tâtonnement et de vérifications.
Soit N=nombre total des moutons et soit α=N/12=nombre de douzaine de moutons (chaque douzaine est composée de 4 de 1ére espèce,de 3 de 2ème espèce et 5 de 3ème espèce)
*le plus petit nombre de moutons est 605/11 (c'est le minimum) et le plus grand nombre de moutons est 605/9 (c'est le maximum)
donc 609/11 ≤ N ≤ 605/9 ↔ 605/(11*12) ≤ N/12 ≤ 605/(9*12) soit 4,6 ≤ α ≤ 5,6 et comme α=N/12 est entier naturel alors α=N/12=5 d'où N=5*12=60 moutons
(le troupeau de moutons est de 60 moutons composé de 5 douzaines de moutons) autrement dit 5*12 moutons=5*(4 moutons 1ére + 3 de 2ème + 5 de 3ème)
=5*4 moutons 1ère + 5*3 moutons 2ème + 5*5 moutons 3ème )=20 moutons 1ére esp.+ 15 moutons 2ème esp.+ 25 moutons 3ème esp. Merci



Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de wab51, postée le 29-01-2020 à 16:36:02 (S | E)
Quand à votre question :"J'aurai aimé savoir si, il était possible de trouver le résultat avec un système à 3 inconnues.",je pense pouvoir vous répondre :l'énoncé ne permet pas d'aboutir un systèmed'équations à quatre inconnues seulement mais on pourra établir une équation diophantienne liniaire à quatre inconnues, et ce sera une nouvelle méthode de raisonnement pour répondre à la question de ce problème.
x1=nombre de moutons 1ère espèce , P1=prix d'un mouton de 1ère espèce
x2=nombre de moutons 2ème espèce , P2=prix d'un mouton de 2ème espèce
x3=nombre de moutons 3ème espèce , P3=prix d'un mouton de 3ème espèce
N=nombre total des moutons
α=N/12=nombre de douzaine de moutons composant le troupeau de moutons
Il en ressort que l'équation diophantienne générale à quatre connues (les inconnues sont les Pi et N) s'écrit:
N/12(4*P1+3*P2+5*P3)=605 α(4*P1+3*P2+5*P3)=605 4*P1+3*P2+5*P3=605/α (cette équation représente le cout de la douzaine de 12 moutons)
Explication:le 1er membre est une somme entière donc α est entier et un diviseur de 605.La décomposition en facteurs premiers de 605 est :605=5*11²
donc les diviseurs de 605 sont:{1,5,11,55,121,605} et ce n'est autre que les valeurs possibles de α dont on doit cherche celle(s) qui convient(nent)?
On observe directement que α ne peut prendre les valeurs 605,121,55,11 et 1 .Il ne reste donc plus que la valeur 5 ,la seule valeur admise
donc α=5 et comme α=N/12=5 ,en conséquence l'équation diophantienne précédente s'écrira 4*P1+3*P2+5*P3=605/5=121.Autrement dit, le cout de la douzaine (12) moutons revient à 121F.Mais là,attention, ne changer pas de raisonnement pour raisonner sur les prix (comme déjà démontrer et expliquer au paravent),considérer le raisonnement simple ,facile et rapide déjà fait comme l'avant dernier message.Merci et bonne compréhension.



Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de alcoretmizar, postée le 29-01-2020 à 22:36:45 (S | E)
Bonsoir "wab51"
Merci pour vos explications, la methode par encadrement est très intéressante.
Quand aux équations diophantiennes, je ne maîtrise pas trop le sujet, mais je vais m'y pencher de plus près. Ça m'à tout l'air d'un bonne outil mathématique et ce problème est l' occasion idéal de s'initier dessus car on est là sur du concret.
"Ah sacré moutons "
Encore merci pour votre précision ...
Bonne soirée à vous. a+






Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de wab51, postée le 29-01-2020 à 23:09:09 (S | E)
Bonsoir
Pour 605 francs, un marchand achète des moutons, les uns à 9 francs pièce, d'autres à 10 francs et d'autres à 11 francs.
Autrement dit, les prix sont donnés d'une manière aléatoire et il n'est pas dit "le prix affecté à chaque espèce.Vous aviez proposé une méthode par itérations parfaitement juste et correcte.C'est une très bonne question qu'on pourrait rattacher à l'énoncé de ce problème et tirer un bon résultat d'analyse .C'est une curiosité qui m'a emmené à présenter une autre méthode de raisonnement et de calcul en s'appuyant sur la résolution de l'équation diophantienne linéaire à trois inconnues (les trois prix P1,P2,et P3):4*P1+3*P2+5*P3=121 (déjà démontrée et trouvée mon dernier message)
Démonstration :
4*P1+3*P2+5*P3=121 ↔ P1+3*P1+3*P2+3*P3+2*P3=121 ↔ 3(P1+P2+P3)+P1+2*P3=121
Or on sait que la somme (P1+P2+P3)=30 (dans n'importe quel ordre) ,on remplace dans précédemment et on obtient ↔ 3*30+P1+2*P3=121
P1+2*P3=31 (équation diophantienne de type ax+by=c) qu'on peut résoudre
1)Solution particulière :P1=11 et P3=10
2)Solution générale: on obtient P1-11=2(10-P3) dont les solutions sont P1=11+2k et P3=10-k .Cherchons à déterminer les valeurs de k en tenant compte des deux conditions du problème : 9≤ P1 ≤11 et 9≤ P3 ≤11 .Simple calcul on trouve -1≤ k ≤0 et -1≤ k ≤1 d'ou k=0 ou k=-1 .Il suffit de remplacer Pour k=0 on a : P1=11 , P2=9 et P3=10
Pour k=-1 on a : P1=9 , P2=10 et P3=11
*Remarque importante:il n'y a que deux possibilités de choix des prix .De plus quelque soit le choix sur l'un ou l'autre des prix ,la somme de 605 F apportera toujours le meme nombre de moutons en nombre et en espèce.Merci



Réponse : Probleme ancien d'algebre 3 de wab51, postée le 29-01-2020 à 23:14:56 (S | E)
C'est au moment du clic"POSTER"que j'ai pu apercevoir votre message .Merci à vous .Il est formidable et pertinent ce problème mais aussi très intéressant .Je vous remercie et toute l'équipe qui a participé .Bonne chance et bien cordialement .Bonne nuit




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