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Fonction valeur absolue

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Fonction valeur absolue
Message de samp posté le 23-12-2018 à 18:07:24 (S | E | F)
Bonjour,
je bloque sur un exercice de maths comprenant des valeurs absolues, le voici ;

λ désignant un nombre réel positif, on pose fλ (x) = |x-1| + 2|x-2| + λ|x-4| pour x>=0.

a) tracer sur la calculatrice les représentations graphiques de f2, f3, f4 et conjecturer sur les valeurs de x pour lesquelles fλ (x) admet un minimum

b) Démontrer ces résultats en simplifiant fλ (x)

Alors pour la a) j'ai tracé les trois fonctions sur ma calculatrice en remplaçant λ par 2, 3 et 4, et j'ai pu conjecturer que le minimum de f2 (x) est atteint pour x=2
minimum de f3 (x) atteint pour les valeurs de x comprises dans l'intervalle [2;4]
minimum de f4 (x) atteint pour x=4

Pour la b), je suppose qu'il faut faire les deux hypothèses "si x-1 >0 alors... et si x-1<0 alors...." mais je ne sais absolument pas comment m'y prendre

Merci !


Réponse : Fonction valeur absolue de wab51, postée le 24-12-2018 à 12:34:20 (S | E)
Bonjour

f_λ(x) est une fonction affine par morceaux .
a)Représentation graphique de f_λ(x)(c'est ce que vous aviez obtenu comme graphique avec la calculatrice donc je pense ,pas de problème pour cette question). 




-------------------
Modifié par wab51 le 24-12-2018 12:47





Réponse : Fonction valeur absolue de wab51, postée le 24-12-2018 à 12:46:16 (S | E)

b)Pour la Q-b),je pense qu'il faut procéder de la manière suivante:il faut dresser un tableau comme ci-dessous(en se débarrassant de la valeur absolue en appliquant la définition de la valeur absolue ,pour obtenir suivant les intervalles de x ,l'écriture de f_λ(x).Compléter donc ce tableau 






Réponse : Fonction valeur absolue de wab51, postée le 26-12-2018 à 22:04:33 (S | E)

En réponse à votre question"...mais je ne sais absolument pas comment m'y prendre pour la Q-2)"  


En fait,les réponses à la Q-1)sont obtenues à partir de la méthode graphique et par lecture directe .La Q-2)consiste à utiliser la méthode algébrique qui consiste à démontrer ses résultats .(sachant que l'une vérifie l'autre).Comment faire?Je pense que la meilleure de faire est de dresser un tableau dont il est intégré deux tableaux
a)1er tableau consiste à écrire suivant l'intervalle auquel appartient x ,la fonction f_λ(x) sans valeur absolue et bien sur les images des valeurs remarquables de x :x=0;x=1;x=2;x=3 et x=4 (en fonction du paramètre λ)
b)2e tableau(cadre en noir)n'est d'abord qu'une conséquence du 1er tableau.Par conséquent se réalise facilement :en prenant à chaque fois et sur chaque ligne respectivement les valeurs données à λ :f_2(x) pour λ=2 et f_3(x)pour λ=3 et enfin f_4(x)pour λ=4.Pour cela,il n'y a qu'a remplacer λ par sa valeur respective pour trouver les fonctions affines dans chaque intervalle de x.Enfin ,à partir du signe du coefficient angulaire respectif ,on peut déduire la variation de f croissante ou décroissante dans chaque intervalle(voir flèche).Quand au minimum,voir seulement le sommet ou la variation est d'abord décroissante puis pour repartir croissante .
Voici,ci dessous le modèle de ce tableau,il ne vous reste plus qu'à le compléter (suivre l'exemple traité)


 





Réponse : Fonction valeur absolue de wab51, postée le 26-12-2018 à 22:06:28 (S | E)






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