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Probabilités

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Probabilités
Message de bourich62 posté le 28-11-2018 à 14:53:53 (S | E | F)
bonjour, voici un nouvel exercice où j'aimerai une correction.
Merci d'avance

Partie A

soit une agence de location ayant un parc de 18 voitures.

10 voitures sont systématiquement louées à des clients réguliers.

La loi de probabilité du nombre de voiture louée par jour (nommé X) est définit dans le tableau suivant :

xi / pi
11 / 0.1
12 / 0.17
13 / 0.27
14 / 0.25
15 / 0.12
16 / 0.05
17 / 0.03
18 / 0.01

1. calculez l'espérance des voitures louées par jour.

E(X)= 13.44

2. Calculez l'écart type (3 décimales)

V(X)=2.348 et écart type=1.532

3. L'agence a 300€ de frais fixes journaliers. Sa marge par véhicule louée est de 20€.

Calculez le bénéfice quotidien espéré.
13.44*20=268.8€

4. L'agence est-elle rentable ? Si non, de combien doit-elle augmenter ses prix pour être sûre de ne pas perdre d'argent.

Donc pas rentable car les frais sont supérieurs au bénéfice journalier espéré.
300-268.8=31.2. Il manque 31.2€ par jour pour qu'elle ne perde pas d'argent.
31.2/13.44=2.321 environ
L'agence doit donc augmenter ses prix de 2.33€ pour être sûre de ne pas perdre d'argent.

Partie B

Dans une fête foraine, un organisateur dispose de 2 sacs de 30 boules chacune.
Les boules sont indiscernables au toucher et ont la même probabilité d’être tirées.
Le S1 sac numéro 1 comprend 27 boules blanches et 3 boules rouges.
Le S2 sac numéro 2 comprend 21 boules blanches et 9 boules rouges.
La règle du jeu est la suivante :
– Le joueur mise 1 € et tire une boule dans le S1 qu'il remet ensuite dans le S1.
– Si la boule est rouge alors le joueur tire une boule dans le S2 et note la couleur et s’arrête là.
– Si la boule est blanche il tire une boule dans le S1 et note la couleur et s’arrête là.
Soit A et B les événements :
A : « Les deux boules tirées sont rouges »
B : « Une seule des boules tirées est rouge »

1) Déterminez p(A) et p(B) (Vous pourrez vous aider d’un arbre pondéré)

J'ai réalisé un arbre au brouillon.
p(A)=3/30*9/30=27/900=0.03
p(B)=3/30*21/30+27/30*3/30=63/900+81/900=144/900=0.16.

Si les deux boules obtenues sont rouges alors le joueur reçoit 10 €, si une seule boule est rouge il reçoit 2 € sinon il perd sa mise.
X désigne alors la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

2) Déterminez la loi de probabilité de X.

xi / pi
-1 / 0.81
2 / 0.16
10 / 0.03

je remarque que l'ensemble de mes pi=1 donc à priori mes résultats sont bons.

3) En déduire l'espérance mathématique de X. Qu’en déduisez-vous ?

E(X)= -0.19

J'en déduis que le gain moyen espéré est de -0.19, autrement dit c'est une perte.

Soit n un entier naturel supérieur à 2, le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes.

4) Démontrez que la probabilité pn qu’il pioche au moins une fois dans le sac S2 est de la forme pn =1 – α^n . Vous déterminerez α.

Pas réussi à trouver

5) Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle pn > 0,9 ?

Pas réussi à trouver.

J'attends vos méthodes pour finir cet exercice
Merci d'avance


Réponse : Probabilités de puente17, postée le 28-11-2018 à 17:03:39 (S | E)
Re...,

L'agence doit donc augmenter ses prix de 2.33€ pour être sûre de ne pas perdre d'argent.
C'est vrai à condition que le fait d'augmenter ne fasse pas perdre de clients .

je remarque que l'ensemble de mes pi=1 donc à priori mes résultats sont bons.
Attention c'est un peu plus 'tordu', c'est un peu comme la preuve par neuf dans les petites classes.En fait ce qui est sûr c'est que si on ne trouve pas 1 alors oui c'est faux.

J'en déduis que le gain moyen espéré est de -0.19, autrement dit c'est une perte.
C'est normal, car si E > 0 alors le forain n'ouvrirait pas le stand à moins d'être masochiste

Je vous laisse trouver la suite mais ce 1 - quelquechose me fait penser à une formule de votre cours: p(non A) = 1 - p(A) la proba. de l’événement contraire.

Bon courage.




Réponse : Probabilités de bourich62, postée le 29-11-2018 à 10:27:27 (S | E)
Bonjour,

donc j'utilise la formule de l'événement contraire :

4)
soit Pn=piocher au moins une fois dans le S2
l'événement contraire sera piocher au moins une fois dans le s1, appelé a.
et les deux évenements = 1

donc :

Pn=1-a^n
Pn-1=-a^n
a^n=-Pn+1
a=(-pn+1)/n

5) on cherche la plus petite valeur de n possible pour que pn>0.9

Pn>0.9
1-a^n>0.9
-a^n>-0.1
a^n>0.1
a>0.1/n

je n'arrive pas à aller plus loin malheureusement...



Réponse : Probabilités de bourich62, postée le 01-12-2018 à 10:39:12 (S | E)
Bonjour,

toujours personne pour me corriger et m'aider à terminer ?

merci



Réponse : Probabilités de puente17, postée le 01-12-2018 à 16:42:06 (S | E)
Bonjour,

soit Pn=piocher au moins une fois dans S2
l'événement contraire sera piocher au moins une fois dans s1.

l'événement contraire sera piocher toujours dans s1 et la probabilité de tirer n fois dans S1 est a^n donc celle de au moins une fois dans S2 est 1-a^n

Probabilité de tirer une boule blanche est 27/30 donc 0,9 = a

Il vous reste donc à à trouver le plus petit n tel que: 1 - 0,9^n > 0,9
C'est un exercice sur les log.



Réponse : Probabilités de bourich62, postée le 01-12-2018 à 16:51:56 (S | E)
Du coup j'utilise ln pour déterminer n

1-0.9^n>0.9
-0.9^n>-0.1
0.9^n>0.1
n*ln0.9>ln0.1
n>ln0.1/ln0.9
n=21.85

la plus petite valeur de n pour que pn>0.9 est 22.





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